Teorema Fundamental de Cálculo

Seja $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ Riemann integrável, então $F: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}, F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt$ é contínua. Além disso, $F$ é diferenciável em todo ponto de continuidade de $f$ e $F^{'}(x)= f(x).$

Definição de Primitiva de uma função: Dada $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ e $F$ diferenciável dizemos que $F$ é uma primitiva de $f$ se para todo ponto $x, F^{'}(x)= f(x).$

Corolário do Teorema Fundamental: Se $f$ é contínua então tem uma primitiva. A diferença de duas primitivas é apenas num número constante. Observe que estmaos assumindo que o domínio da função $f$ é conexo.

Teorema de Anti-derivada: Seja $f$ uma função integrável e $F$ sua primitiva. Então $F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt + C$ para algum $C \in \mathbb{R}.$

Observação 1: Uma função $f$ pode ter primitiva e mesmo assim pode ter pontos de descontinuidade.

Por exemplo seja $$F(x) = \begin{cases} x^2 sin(\frac{1}{x}) & x \neq 0\\ 0 & x=0 \end{cases}$$ Então $F$ é diferenciável e portanto é primitiva da $f = F^{'}$ que não é contínua no ponto $x=0.$ Entretanto neste exemplo $f$ é integrável por ser apenas descontínua num único ponto ($x=0$).

Observação 2: Dada uma função com primitiva, ela não precisa ser integrável. De fato podemos construir uma função $F$ diferenciável em todo $[0, 1]$ e que sua derivada é descontínua num conjunto de medida total.

Entretanto topologicamente o conjunto de pontos de descontinuidade de uma função diferenciável é pequeno.

Seja $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ diferenciável. Então $f = F^{'}$ é contínua num conjunto $G_{\delta}$ denso. Lembre que um conjunto $G_{\delta}$ contem interseção enumerável de conjuntos abertos.

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Mudança de variável

Mudança de variável: Atenção na hipôtese que está faltando no video: Seja $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ contínua e $g : [c, d] \rightarrow [a, b]$ diferenciável com derivada contínua então:

$$ \int_{c}^{d} f(g(x)) g^{'}(x)dx = \int_{g(c)}^{g(d)} f(x)dx. $$

Pela hipótese a função $f$ é integrável, $g^{'}$ também integrável e portanto a integral do lado esquerdo faz sentido por ser produto de duas funções integráveis.

Observem também que não assumimos nada mais sobre derivada da função $g$. Por exemplo não necessitamos que a função $g$ seja crescente …. Veja blog de cálculo para ver uma interpretação geométrica.

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