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Teorema Fundamental de Cálculo
Seja f:[a,b]→R Riemann integrável, então F:[a,b]→R,F(x)=∫xaf(t)dt é contínua. Além disso, F é diferenciável em todo ponto de continuidade de f e F′(x)=f(x).
Definição de Primitiva de uma função: Dada f:[a,b]→R e F diferenciável dizemos que F é uma primitiva de f se para todo ponto x,F′(x)=f(x).
Corolário do Teorema Fundamental: Se f é contínua então tem uma primitiva. A diferença de duas primitivas é apenas num número constante. Observe que estmaos assumindo que o domínio da função f é conexo.
Teorema de Anti-derivada: Seja f uma função integrável e F sua primitiva. Então F(x)=∫xaf(t)dt+C para algum C∈R.
Observação 1: Uma função f pode ter primitiva e mesmo assim pode ter pontos de descontinuidade.
Por exemplo seja F(x)={x2sin(1x)x≠00x=0 Então F é diferenciável e portanto é primitiva da f=F′ que não é contínua no ponto x=0. Entretanto neste exemplo f é integrável por ser apenas descontínua num único ponto (x=0).
Observação 2: Dada uma função com primitiva, ela não precisa ser integrável. De fato podemos construir uma função F diferenciável em todo [0,1] e que sua derivada é descontínua num conjunto de medida total.
Entretanto topologicamente o conjunto de pontos de descontinuidade de uma função diferenciável é pequeno.
Seja F:R→R diferenciável. Então f=F′ é contínua num conjunto Gδ denso. Lembre que um conjunto Gδ contem interseção enumerável de conjuntos abertos.
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Mudança de variável
Mudança de variável: Atenção na hipôtese que está faltando no video: Seja f:[a,b]→R contínua e g:[c,d]→[a,b] diferenciável com derivada contínua então:
∫dcf(g(x))g′(x)dx=∫g(d)g(c)f(x)dx.
Pela hipótese a função f é integrável, g′ também integrável e portanto a integral do lado esquerdo faz sentido por ser produto de duas funções integráveis.
Observem também que não assumimos nada mais sobre derivada da função g. Por exemplo não necessitamos que a função g seja crescente …. Veja blog de cálculo para ver uma interpretação geométrica.
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