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-====== Funções reais ======
-A partir de agora tratamos os números reais com tanta complexidade que oferecem, como apenas simples números que podem se somar, multiplicar e dividir ….Novamente vamos aceitar (ou fingir) que sabemos fazer essas operações com todos os números. Numa próxima aula veremos o que significa operação entre números, em particular os irracionais!
-Assim que o cálculo é : As vezes vamos aprofundar o máximo possível e respeitar o rigor matemático e as vezes é necessário deixar do lado o rigor e curtir o cálculo!
-Uma função é como uma maquina que alimenta um número real (input) e fornece outro número (output) usando alguma regra.
-{{:funcao-e1583087826556.png?400|}}
-Domínio da função: São os números que a função aceita como input.
-Por exemplo função  $ f(x)= \frac{1}{x}$ aceita qualquer número real exceto $ x=0.$ Portanto o domínio é $ \mathbb{R} \setminus \{0\}$ que as vezes denotamos por $ \mathbb{R}^*.$
-Denotamos por $ D(f)$ o domínio da função $ f.$
-A imagem da função $ f$ é $ \{y \in \mathbb{R}: \exists x , f(x) = y\}$, i.e. $ f(D(f)) = \{f(x) : x \in D(f)\}.$
-<color #7092be>Função identidade</color>: Essa função apesar de ser muito simples, tem uma colaboração fundamental.
-$ Id_S : S \rightarrow S$ e $ Id_S(x) = x.$ Geralmente não escrevemos $Id_S$ e apenas escrevemos $ Id.$
-Pode parecer muito estranho definir uma função tão trivial. Para responder, apenas lembrem quão importante foi a introdução de número zero na teoria dos números.
-==== Composição de funções: ====
-Sejam $ f : D(f) \rightarrow \mathbb{R}$ e $ g: D(g) \rightarrow \mathbb{R}$ duas funções. Se $ R(f) \cap D(g) \neq \emptyset$ então podemos definir uma outra função $ h = g \circ f$ (composição de $ g $ e $ f$) de seguinte forma. Seja $ D(h) = \{x \in D(f) : f(x) \in D(g)\}$,
-$ h = g \circ f : D(h) \rightarrow \mathbb{R},$   $ g \circ f (x) = g(f(x)).$
-As vezes podemos compor uma função com ela mesma. Por exemplo se $f: \mathbb{R} \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = \frac{1}{x}$ então $f\circ f, f\circ f\circ f, \cdots$ são funções reais. É fácil ver que $f\circ f \circ f \circ \cdots \circ f $,  composição  $n-$vezes  resulta a função identidade de $D(f)$ se $n$ é par e caso $n$ ímpar a composição coincide com a $f$.
-==== Função inversa: ====
- Seja $ f$ uma função injetiva $ f: D(f) \rightarrow R(f)$. Então a inversa da $ f$ é denotada por $ g = f^{-1} : R(f) \rightarrow D(f)$ e satisfaz
-$ f (g(y)) = y$ para todo $ y \in R(f)$ e $ g(f(x)) = x$ para qualquer $ x \in D(f).$ De forma equivalente podemos escrever:
-$ f \circ g = Id_{R(f)}$ e $ g \circ f = Id_{D(f)}$
-Quando temos a expressão de uma função $ f$, para achar a expressão da função inversa, precisamos resolver achar $ x$ em termos de $ y$ na equação $ y = f(x).$
-=== Exemplos: ===
-. <color #7092be>Funções linear e afim</color>: A função $ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = kx + l$ onde $k, l \in \mathbb{R}$ é chamada de uma função afim e se $ l =0$ chamamos de função linear.
-Lembre que o gráfico de uma função afim sempre é uma reta cuja inclincação é $k$.
-<WRAP  round tip 60%>
-Onde encontramos função afim? A posição de uma partícula em movimento na reta sem aceleração é dada por uma função afim de tempo. d(t) = vt + d_0 onde $v$ é a velocidade e $d_0$ posição inicial.
-</WRAP>
-.  Em geral uma função polinômial de grau $ n$ é definida como  $ p(x)= a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0.$ Por exemplo $ P(x) = ax^2 + bx + c$ é uma função polinomial que é conhecida como função quadrática.
-. <color #7092be>Funções racionais</color>: Seja $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ onde $P, Q$ são dois polinômios em $x$. Então $f : D(f) \rightarrow \mathbb{R}$ é chamada de uma função racional. Observem que $D(f) = \{x \in \mathbb{R} : g(x) \neq 0\}.$
-. Considere $ f(x) = \frac{1}{x}.$ É fácil ver que $ D(f) = R(f) =  \mathbb{R}^*$. Para achar a inversa desta função escrevemos
-$ y = \frac{1}{x} \Rightarrow  x = \frac{1}{y}$
-e assim achamos o $ x$ em termos de $ y$ e portanto $ f^{-1}(y) = \frac{1}{y}.$ Claro que podemos escrever $ f^{-1}(x) = \frac{1}{x}.$ Ou seja a inversa da $ f$ coincide com ela mesma. $ f^{-1} = f.$
-. Considere a função $ f(x) = x^2.$ Novamente é fácil ver que $ D(f) = \mathbb{R}$ e $ R(f) = \mathbb{R}_{+} = \{t \in \mathbb{R} , t \geq 0\}.$
-Existe um probleminha: a função não é injetiva. Portanto ela não tem inversa.
-Que tal restringir essa função. A restrição de uma função em algum sub conjunto de seu domínio é mais uma ferramenta "trivial" e muito útil na matemática.
-Seja $ g : [0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ e $ g(x) = x^2.$
-Então as "regras" das máquinas (funções) $ f$ e $ g$ são as mesmas. Elas pegam um número e levam ao quadrado. A diferrença é que, por alguma razão a máquina $ g$ não gosta e não aceita números negativos!
-Entretanto, a função $ g$ é injetíva. Pois se $ g(x) = g(y)$ então $ x = \pm y$, e já que ambos $ x, y$ sõa números positivos, concluímos que $ x=y.$
-Assim podemos definir a inversa da $ g$ e chamamos de $ g^{-1} : R(g) \rightarrow [0, \infty)$. Claro que $ R(g) = [0, \infty).$
-Para isto escrevemos $ y = x^2$ e temos $ x= \pm \sqrt{y}$ e tendo em mente que $ x \geq 0$ teremos
-$ g^{-1}(y) = \sqrt{y}.$
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-Achar inversa de uma função (mesmo polinomiais) em geral não é uma tarefa fácil. As vezes não é possível achar uma expressão por operações básicas (multiplicar, dividir, pegar raíz, somar). Isto é pois precisamos resolver uma equação polinomial que as vezes pode não ter solução expressa por operações básicas (Curiosos:  [[https://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_de_Galois|Teoria de Galois]]). Não se assustem! elas não são cobradas na prova de cálculo 1.
-{{:keepalgebra.jpeg?200|}}
-<color #7092be>Função módulo ou valor absoluto</color>: Uma outra função clássica é $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)= |x|.$ Pela definição $Im(f) = \mathbb{R}^{+}.$ Uma brincadeira interessante é tentar esboçar gráfico de funções com regras de tipo $f (x) = |x-a_1| + |x - a_2| + \cdots + |x - a_n|$ onde $a_i$'s são números reais e distintos. Verifique que o gráfico de tais funções tem $n$ "bicos"!
-Exercício: Esboce o gráfico de $f(x) = ||x|-1|.$ Sem esboçar o gráfico pode imaginar quantos bicos o gráfico da função tem?