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Supondo que a função f(x) é 2\pi -periódica, calcule sua série de Fourier. $$ f(x)=\sin(x) + \cos(x) + 0.5\sin(3x) $$ Calculando a_0 , temos: $$ a_0 = \frac 1 \pi \int_{-\pi}^\pi (\underbrace{\sin(x)}_{ímpar} + \underbrace{\cos(x)}_{par} + \underbrace{0.5\sin(3x)}_{ímpar})dx = \int_{-\pi}^\pi \cos(x...

Assumindo que y^\prime = 1 + xy^2 tenha uma solução em séries de potência, encontre os quatro primeiros termos não nulos com y=0 quando x=0 . Seja f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n a solução da equação diferencial, temos: $$ \begin{aligned} \sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1} &= 1 + x \left( \sum_{n=...

Testar a seguinte série para verificar convergência ou divergência: $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1000n + 1}$$ Resolução: Vamos utilizar o critério da comparação no limite com a série harmônica: $$ \lim_{n\rightarrow\infty} \frac {\frac 1 n} {\frac {1} {1000n + 1} } = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac...

Obter a seguinte fórmula, dado que |x|\lt 1 : $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} = \log{\frac 1 {1-x}} $$ Resolução: Derivando os termos da série, ficamos com $$ \frac {d}{dx} \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} = \sum_{n=1}^\infty x^{n-1} = {1 + x + x^2 + x^3 + \dots} $$ E, também, sabemos que para sér...