Supondo que a função \(f(x)\) é \(2\pi\)-periódica, calcule sua série de Fourier.
$$ f(x)=\sin(x) + \cos(x) + 0.5\sin(3x) $$
Calculando \(a_0\), temos:
$$ a_0 = \frac 1 \pi \int_{-\pi}^\pi (\underbrace{\sin(x)}_{ímpar} + \underbrace{\cos(x)}_{par} + \underbrace{0.5\sin(3x)}_{ímpar})dx =
\int_{-\pi}^\pi \cos(x)dx = \sin(x) \Big|_{-\pi}^\pi = 0
$$
Para \(a_n\) e \(b_n\), pularemos o desenvolvimento completo da integral para economizar espaço (e tempo). Caso queiram desenvolver na mão, usem
$$
\cos(p) - \cos(q) = -2\sin\left(\frac{p+q} 2\right)\sin\left(\frac{p-q} 2\right) \\
\cos(p) + \cos(q) = 2\cos\left(\frac{p+q} 2\right)\cos\left(\frac{p-q} 2\right)
$$
Assim, \(a_n\) é
$$ a_n = \frac 1 \pi \int_{-\pi}^\pi (\sin(x) + \cos(x) + 0.5\sin(3x)) \cos(nx) = \frac 1 \pi \int_{-\pi}^\pi \underbrace{\sin(x)\cos(nx)}_{ímpar} + \underbrace{\cos(x)\cos(nx)}_{par} + \underbrace{0.5\sin(3x)\cos(nx)}_{ímpar}\\ =
\frac{2n sin(n π)}{\pi - \pi n^2} = 0 \text{ (se } n \neq 1 \text{) }
$$
Se \(n=1\)
$$ a_1 = \frac 1 \pi \int_{-\pi}^\pi (\sin(x) + \cos(x) + 0.5\sin(3x)) \cos(x) = 1$$
Agora \(b_n\):
$$ b_n = \frac 1 \pi \int_{-\pi}^\pi (\sin(x) + \cos(x) + 0.5\sin(3x)) \sin(nx) = \frac 1 \pi \int_{-\pi}^\pi \underbrace{\sin(x)\sin(nx)}_{par} + \underbrace{\cos(x)\sin(nx)}_{ímpar} + \underbrace{0.5\sin(3x)\sin(nx)}_{par} = \\
\frac{(21 - 5 n^2) sin(n π)}{(9 - 10 n^2 + n^4) \pi} = 0 \text{ (se } n \neq 1 \text{ e } n\neq3 \text{) }$$
Com \(n=1\):
$$ b_1 = \frac 1 \pi \int_{-\pi}^\pi (\sin(x) + \cos(x) + 0.5\sin(3x)) \sin(x) = 1$$
e com \(n=3\):
$$ b_3 = \frac 1 \pi \int_{-\pi}^\pi (\sin(x) + \cos(x) + 0.5\sin(3x)) \sin(3x) = 0.5$$
$$\therefore \text{a série de fourier fica } S(x) = 1 \cos(1x) + 1\sin(1x) + 0.5\sin(3x) = \cos(x) + \sin(x) + 0.5\sin(3x) $$
O que é de se esperar, dado que a função já é uma soma de senos e cosseno.