Assumindo que \(y^\prime = 1 + xy^2\) tenha uma solução em séries de potência, encontre os quatro primeiros termos não nulos com \(y=0\) quando \(x=0\).
Seja \( f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \) a solução da equação diferencial, temos:
$$
\begin{aligned}
\sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1} &= 1 + x \left( \sum_{n=0}^\infty a_n x^{n} \right)^2 \\
&= 1 + x \left( \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^n a_k a_{n-k} \right) x^n\right) \text{ (Produto de Cauchy)}\\
&= 1 + a_0^2x + 2a_0a_1x^2 + (a_1^2 + 2a_0a_2)x^3 + \dots
\end{aligned}
$$
$$\therefore a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 +\dots = 1 + a_0^2x + 2a_0a_1x^2 + (a_1^2 + 2a_0a_2)x^3 + (2a_0a_3 + 2a_1a_2)x^4 + (2a_0a_4 + 2a_1a_3 +a_2^2)x^5 + \dots $$
Com \( y=0 \), quando \(x=0\), sabemos que \( a_0 = 0\). Comparando os coeficientes dos termos de mesmo grau, e observando o padrão do lado direito (n par e n ímpar), temos:
$$
\begin{aligned}
& a_1 = 1 \\
& 2a_2 = a_0^2 = 0 \rightarrow a_2 = 0 \\
& 3a_3 = 2a_0a_1 = 0 \rightarrow a_3 = 0 \\
& 4a_4 = a_1^2 + 2a_0a_2 = 1^2 \rightarrow a_4 = \frac 1 4 \\
& 5a_5 = 2a_0a_3 + 2a_1a_2 = 0 \rightarrow a_5 = 0 \\
& 6a_6 = 2a_0a_4 + 2a_1a_3 + a_2^2 = 0 \rightarrow a_6 = 0 \\
& 7a_7 = 2a_0a_5 + 2a_1a_4 + 2a_2a_3 = 2\frac{1}{4} \rightarrow a_7 = \frac{1}{14} \\
& 8a_8 = 2a_0a_6 + 2a_1a_5 + 2a_2a_4 + a_3^2 = 0 \rightarrow a_8 = 0 \\
& 9a_9 = 2a_0a_7 + 2a_1a_6 + 2a_2a_5 + 2a_3a_4 = 0 \rightarrow a_9 = 0 \\
& 10a_{10} = 2a_0a_8 + 2a_1a_7 + 2a_2a_6 + 2a_3a_5 + a_4^2 = 2\frac{1}{14} + \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac 1 7 + \frac 1 {16} = \frac{23}{112} \rightarrow a_{10} = \frac{23}{1120}
\end{aligned}
$$
$$\therefore \text{ os 4 primeiros termos não nulos da série são } f(x) = x + \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{14}x^7 + \frac{23}{1120}x^{10} + \dots$$