Obter a seguinte fórmula, dado que \( |x|\lt 1 \):
$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} = \log{\frac 1 {1-x}} $$
Resolução:
Derivando os termos da série, ficamos com
$$ \frac {d}{dx} \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} = \sum_{n=1}^\infty x^{n-1} = {1 + x + x^2 + x^3 + \dots} $$
E, também, sabemos que para séries geométricas de razão \(|q| \lt 1\) e \(a_1 = 1\), a soma dos infinitos termos é
$$ S = \frac{1}{1-q} $$
Portanto
$$ S = \frac {d}{dx} \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} = \frac{1}{1-x} $$
Podemos, então, integrar para voltarmos para a série original, de modo que obtemos
$$
\begin{aligned}
\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} &= \int \frac {1}{\underbrace{1-x}_u} \underbrace{dx}_{-du} \\
\\
&= -\int \frac {1}{u} du \\
&= -\log{|u|} + \mathbb C
\end{aligned}
$$
Pelo enunciado, \(1-x \gt 0, \forall x\in \mathbb R\) , então
$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} = -\log{(1-x)} = \log{(1-x)^{-1}} + \mathbb C \\
\rightarrow \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} = \log{\frac {1} {1-x}} + \mathbb C
$$
Quando \(x=0\), a soma também da \(0\) e, então, \(\mathbb C= 0\).
$$
\therefore \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} = \log{\frac {1} {1-x}}
$$