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Topologia da ordem
Seja $X$ um conjunto totalmente ordenado. Chamamos de topologia/ordem; topologia da ordem a topologia sobre $X$ gerada pelos abertos da forma $$]a, b[ = \{x \in X: a < x \text{ e } x < b\}$$ $$]-\infty, b[ = \{x \in X: x < b\}$$ $$]a, +\infty[ = \{x \in X: a < x\}$$ com $a, b \in X$.
1 Seja $X$ com a topologia da ordem. Seja $x \in X$ tal que existam $a, b \in X$ tais que $a < x$ e $x < b$. Mostre que $x$ é um ponto/isolado; ponto isolado (isto é, $\{x\}$ é aberto) se, e somente se, existem $\alpha, \beta \in X$ tais que $\alpha = \max\{y \in X: y < x\}$ e $\beta = \min\{y \in X: x < y\}$.Solução
Seja $(X, \leq)$ um conjunto totalmente ordenado. Dizemos que $\leq$ é uma ordem/densa; ordem densa (ou ordem / densa em si mesma; densa em si mesma) se, para todo $x, y \in X$ com $x < y$, existe $z \in X$ tal que $x < z < y$.
2 Mostre que toda ordem densa com mais de um ponto é infinita.Solução
3 Dê um exemplo de um conjunto totalmente ordenado e infinito mas cuja ordem não seja densa.Solução
Seja $(X, \leq)$ um conjunto totalmente ordenado. Dizemos que $D \subset X$ é denso/no sentido de ordem; denso (no sentido de ordem) se, para quaisquer $a, b \in X$ com $a < b$, existe $d \in D$ com $a \leq d \leq b$.
4 Seja $(X, \leq)$ conjunto com uma ordem densa e seja $D \subset X$. Mostre que $D$ é denso no sentido de ordem se, e somente se, $D$ é denso (no sentido topológico) quando consideramos $X$ com a topologia induzida pela ordem $\leq$.Solução
5 Este é um roteiro para mostrar que toda sequência num conjunto totalmente ordenado admite uma subsequência constante, ou admite uma subsequência estritamente crescente ou admite uma subsequência estritamente decrescente. Assim, seja $(x_n)_{n \in \omega}$ uma sequência num conjunto $(X, \leq)$ totalmente ordenado.
5.1 Note que podemos supor que $x_n \neq x_m$ se $n \neq m$ (se não pudermos, é que já resolvemos).Solução
5.2 Dizemos que $x_n$ é um pico se, para todo $k > n$, temos que $x_k < x_n$. Suponha que existam infinitos picos. Mostre que existe uma subsequência decrescente infinita.Solução
5.3 Suponha que não existam infinitos picos. Mostre que existe uma subsequência crescente. Dica Solução
5.4 Conclua o resultado.
Provavelmente você vai querer saber os resultados da lista de boa ordem. Considere nos próximos exercícios sempre $\omega_1$ com a topologia da ordem.
6 Mostre que $\omega_1$ não é compacto. Solução
7 Mostre que todo conjunto enumerável em $\omega_1$ é limitado.Solução
8 Mostre que toda sequência de $\omega_1$ tem subsequência convergente.DicaSolução
9 Seja $(\alpha_n)_{n \in \omega}$ sequência de elementos de $\omega_1$ tal que, para todo $n \in \omega$, $\alpha_n \leq \alpha_{n + 1}$. Mostre que $\alpha_n \to \beta$ onde $\beta = \sup\{\alpha_n: n \in \omega\}$.
10 Sejam $(\alpha_n)_{n \in \omega}$ e $(\beta_n)_{n \in \omega}$ sequências de elementos de $\omega_1$ de forma que, para todo $n$, $\alpha_n \leq \beta_n \leq \alpha_{n + 1}$. Mostre que existe $\gamma$ tal que $\alpha_n \to \gamma$ e $\beta_n \to \gamma$.
11 Considere $\omega_1 + 1$ (isto é, o conjunto $\omega_1$ acrescentado de um elemento $p$ tal que $x \leq p$ para todo $x \in \omega_1$. Em geral, fazemos $\omega_1 + 1 = \omega_1 \cup \{\omega_1\}$ - ou seja, o próprio $\omega_1$ faz o papel de $p$ como elemento). Mostre que $\omega_1 + 1$ é compacto.Dica Solução
12 Seja $f: \omega_1 \to \mathbb R$ contínua.
12.1 Seja $n \in \omega$. Mostre que existe $\alpha_n \in \omega_1$ tal que, para todo $\beta, \gamma > \alpha_n$, $|f(\beta) - f(\gamma)| < \frac{1}{n + 1}$.Dica
12.2 Mostre que existe $\alpha \in \omega_1$ tal que $f(x) = f(\alpha)$ para todo $x > \alpha$.
13 Mostre que toda função contínua $f: \omega_1 \rightarrow \mathbb R$ é limitada.
14 Mostre que $\omega_1 + 1$ é a compactificação de Stone-Cech de $\omega_1$.
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