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Densos $\times$ bases
Como o nome sugere, provavelmente você vai querer saber os resultados da lista de densos e da lista de bases. A lista de enumerabilidade pode ajudar em alguns exercícios também.
1 Mostre que se $(X, \tau)$ tem base enumerável, então $X$ é separável.DicaSolução
2 Seja $(X, \tau)$ espaço topológico. Seja $Y$ denso em $X$. Mostre que, se $Y$ é separável, então $X$ é separável. Solução
3 Seja $(X, d)$ espaço métrico. Mostre que se $X$ é separável, então $X$ tem base enumerável.DicaSolução
4 Seja $(X, \tau)$ espaço topológico com base enumerável. Mostre que, dado $Y \subset X$, $Y$ é separável.Solução
5 Considere $P = \{(x, y) \in \mathbb R^2: y \geq 0\}$. Considere sobre $P$ a seguinte topologia. Se $(x, y)$ é tal que $y > 0$, então os abertos básicos em torno de $(x, y)$ são as bolas abertas usuais centradas em $(x, y)$ (métrica euclidiana). Dado $(x, 0) \in P$, um aberto básico em torno de $(x, 0)$ é d forma $B_r((x, r)) \cup \{(x, 0)\}$ ($B_r(x, y)$ é a bola centrada em $(x, y)$ de raio $r$ com a métrica euclidiana). Este espaço é chamado de plano/Niemytski;plano de Niemytski.Solução
5.1 Mostre que tal espaço é separável.
5.2 Mostre que $\{(x, 0): x \in \mathbb R\}$ é um discreto não enumerável (e, portanto, não separável). Ser espaço/discreto; discreto quer dizer que, com a topologia de subespaço, tem a topologia discreta.
5.3 Mostre que tal espaço não tem base enumerável.Dica
Seja $(X, \tau)$ espaço topológico. Dizemos que $X$ é espaço/metrizável; metrizável se existe $d$ métrica sobre $X$ tal que a topologia induzida por $d$ é a própria $\tau$.
6 Mostre que o plano de Niemystki não é metrizável.Solução
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