Topologia e conjuntos em exercícios

19 Considere $\mathcal I = \{I_n: n \in \omega\}$ a coleção de todos os intervalos abertos de extremos racionais. Dado $I$ um intervalo de extremos reais, denotamos por $diam(I) = |a - b|$ onde $a, b$ são os extremos. Fixado $\varepsilon > 0$, seja $(x_n)_{n \in \omega}$ sequência de reais positivos tais que $\sum_{n = 0}^\infty x_n = \varepsilon$. Considere $\mathbb P_{\varepsilon} = \{f \in Fn(\omega, \omega): diam(I_{f(n)}) < x_n$ para todo $n \in \omega\}$ com a ordem usual de $Fn(\omega, \omega)$ (extensão de funções).

19.1 Note que $\mathbb P_{\varepsilon}$ é ccc.

19.2 Seja $r \in \mathbb R$. Mostre que $D_r = \{f \in \mathbb P_{\varepsilon}: r \in \bigcup_{n \in dom(f)} I_{f(n)}\}$ é denso em $\mathbb P_{\varepsilon}$.

19.3 Lembre-se (ou aprenda) que um subconjunto $X \subset \mathbb R$ tem medida nula se $\inf\{\sum_{n = 0}^\infty diam(J_n):$ cada $J_n$ é um intervalo aberto de extremos reais e $X \subset \bigcup_{n \in \omega} J_n\} = 0$. Mostre que todo conjunto enumerável tem medida nula.

19.4 Mostre que, supondo $MA_\kappa$, se $X \subset \mathbb R$ é tal que $|X| = \kappa$, então $X$ tem medida nula.Dica Solução

20 Mostre que a afirmação “todo $X \subset \mathbb R$ tal que $|X| = \aleph_1$ tem medida nula” é independente de ZFC.

21 Sejam $\lambda < 2^{\aleph_0}$ e $(f_\alpha)_{\alpha \in \lambda}$ uma família de funções de $\omega$ em $\omega$. Considere $\mathbb P = \omega^{<\omega} \times [\lambda]^{<\omega}$ com a seguinte ordem: $(s, F) \leq (t, G)$ se $$s \supset t, F \supset G \ \forall \alpha \in G \ \forall n \in dom(s) \smallsetminus dom(t) \ s(n) > f_\alpha(n)$$

21.1 Mostre que $\leq$ é de fato uma ordem ccc.

21.2 Considere $s = \{(0, 0), (1, 0), (2, 4), (3, 7)\}$, $t = \{(0, 0), (1, 0), (2, 4)\}$ e $F = \{\alpha_1, \ldots, \alpha_n\} \subset \lambda$. Note que $(s, F), (t, F) \in \mathbb P$. Sob quais condições $(s, F) \leq (t, F)$?

21.3 Mostre que $D_\alpha = \{(s, F): \alpha \in F\}$ é denso em $\mathbb P$ para todo $\alpha \in \lambda$.

21.4 Mostre que $E_n = \{(s, F): n \in dom(s)\}$ é denso em $\mathbb P$ para todo $n \in \omega$.

21.5 Suponha que $\mathcal G$ é $\mathcal D$-genérico, onde $\mathcal D = \{D_\alpha: \alpha \in \lambda\} \cup \{E_n: n \in \omega\}$, e considere $f = \bigcup_{(s, F) \in \mathcal G} s$

21.5.1 Mostre que $f$ é uma função de $\omega$ em $\omega$.

21.5.2 Mostre que, para qualquer $\alpha \in \lambda$, se $(s, F) \in \mathcal G \cap D_\alpha$, então $\{n \in \omega: f_\alpha(n) > f(n)\} \subset dom(s)$.Solução

21.5.3 Note que $f_\alpha \leq^* f$ para todo $\alpha \in \lambda$.

21.6 Mostre que o axioma de Martin implica que $\mathfrak b = \mathfrak c$.

22 Seja $A$ uma família quase disjunta infinita de subconjuntos infinitos de $\omega$. Considere $\mathbb P = \{(s, F): s \in [\omega]^{<\aleph_0}, F \in [A]^{<\aleph_0}\}$ com a relação $\leq$ dada por $(s, F) \leq (s', F')$ se

• $s' \subset s, F' \subset F$
• $(s \smallsetminus s') \cap G = \emptyset$ para todo $G \in F'$.

22.1 Mostre que $\leq$ é de fato uma ordem parcial.

22.2 Sejam $(s, F)$ e $(s, G) \in \mathbb P$. Mostre que $(s, F)$ e $(s, G)$ são compatíveis.

22.3 Note que $\mathbb P$ é ccc.Dica

22.4 Mostre que $D_k = \{(s, F) \in \mathbb P: |s| \geq k\}$ é denso para todo $k \in \omega$.Dica Solução

22.5 Mostre que $E_a = \{(s, F) \in \mathbb P: a \in F\}$ é denso para todo $a \in A$.

22.6 Suponha $MA_\kappa$ e que $|A| \leq \kappa$. Considere $G$ $\mathcal D$-genérico, onde $\mathcal D = \{D_k: k \in \omega\} \cup \{E_a: a \in A\}$. Seja $d = \bigcup_{(s, F) \in G} s$. Mostre que $A \cup \{d\}$ é quase disjunta.Dica

22.7 Seja $\mathfrak a$ a cardinalidade da menor família quase disjunta maximal infinita de subconjuntos infinitos de $\omega$. Conclua que se vale $MA_\kappa$, então $\mathfrak a > \kappa$.

23 Mostre que se vale $MA$, então $\mathfrak a = \mathfrak c$.

24 Mostre que se vale $MA$ e $A$ e $B$ são famílias quase disjuntas maximais infinitas de subconjuntos infinitos de $\omega$, então $|A| = |B|$.