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Conjunto de Luzin
Este é um roteiro para mostrar que existe um conjunto de Luzin supondo a Hipótese do Contínuo (CH).
Provavelmente você vai querer ver os resultados da lista de Conjuntos de Bernstein.
Seja $X$ um espaço topológico. Dizemos que um conjunto $N$ é nowhere dense em $X$ se $\forall B \subset X$ aberto tal que $B \neq \emptyset$, temos $\overline{N} \nsupseteq B$.
1 Seja $N \subset X$ conjunto nowhere dense. Mostre que:
1.1 Se $A \subset N$, então $A$ é nowhere dense.
1.2 Se $N_1, N_2,\ldots, N_m \subset X$, $m \in \omega$, são nowhere dense, então $\bigcup_{i = 1}^{m} N_i$ é nowhere dense.
1.3 $\overline{N}$ é fechado de interior vazio.
Dizemos que $L \subset \mathbb R$ é um Conjunto de Luzin se $L$ é não enumerável e toda interseção de $L$ com $A \subset \mathbb R$ nowhere dense é tal que $|L \cap A| \leq \omega$.
2 Suponha CH. Note que basta construirmos $L \subset \mathbb R$ tal que $|L \cap F| \leq \omega$, para todo $F \subset \mathbb R$ fechado de interior vazio.
2.1 Seja $\mathcal{F} = \{F_{\xi} : \xi < \mathfrak{c} \}$ a família de todos os fechados de interior vazio. Vamos construir a sequência $(x_{\xi})_{\xi < \mathfrak{c}}$, por indução transfinita, que terá a propriedade do conjunto de Luzin em cada passo.
2.2 Considere a construção:
1. Para cada $\xi < \mathfrak{c}$, escolha $x_{\xi} \in F_{\xi}$ tal que $x_{\xi} \in \big( \mathbb R \setminus \bigcup_{\zeta < \xi} F_{\zeta} \big)$;
2. Para $\zeta < \xi$, $|\{x_{\zeta} : \zeta < \xi\} \cap F_{\xi}| \leq \omega$.
2.3 Mostre que se $\xi < \mathfrak{c}$, então $\bigcup_{\zeta < \xi} F_{\zeta} \subsetneq \mathbb R$. Dica
2.4 Suponha que a construção está feita para $\zeta < \xi$. Note que podemos escolher $x_{\xi}$ como em (1).
2.5 Mostre que $|\{x_{\xi} : \xi < \mathfrak{c}\} \cap F_{\xi}| \leq \omega$. Dica Solução
2.6 Mostre que $L = \{x_{\xi} : \xi < \mathfrak{c}\}$ é um conjunto de Luzin.
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