Ferramentas do usuário
Conjuntos estranhos em $\mathbb R^n$
Provavelmente você vai querer saber os resultados da lista de boa ordem.
1 Mostre que $\mathbb R^3 \smallsetminus \mathbb Q^3$ é uma união de retas disjuntas.DicaSolução
2 Mostre que existe $A \subset \mathbb R^2$ tal que, para toda reta $r \subset \mathbb R^2$, temos que $r \cap A$ tem exatamente dois pontos.DicaSolução
3 Este é um roteiro para construir uma função cujo gráfico é bem estranho.
3.1 Mostre que $|\mathcal F| = \mathfrak c$, onde $\mathcal F = \{]a, b[ \times \{y\}: a < b, a, b, y \in \mathbb R\}$.
Considere $A \subset \mathbb R^2$. Denotamos, dado $y \in \mathbb R$, $H(A, y) = \{x \in \mathbb R: (x, y) \in A\}$. Analogamente, dado $x \in \mathbb R$, denotamos por $V(A, x) = \{y \in \mathbb R: (x, y) \in A\}$.
3.2 Mostre que existe $A \subset \mathbb R^2$ tal que $H(A, y)$ é denso em $\mathbb R$ para todo $y \in \mathbb R$ e que $V(A, x)$ tem no máximo um ponto para cada $x \in \mathbb R$.
3.3 Mostre que existe $f: \mathbb R \to \mathbb R$ tal que, para todo $y$, $\{x \in \mathbb R: f(x) = y\}$ é denso em $\mathbb R$. Dica
Esta lista foi baseada no livro Set Theory for the Working Mathematician de Krzysztof Ciesielski.
Ferramentas da página
