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A consistência de \(\neg\)SH
A lista a seguir trata da Hipótese de Suslin. Para mais informações, consulte a lista a respeito, mas esta lista define tudo o que é necessário.
Definições:
- Uma Reta de Suslin é um conjunto totalmente ordenado por uma ordem densa, completa, sem máximo e mínimo e $ccc$.
- Uma árvore de Suslin é uma $\omega_1$-árvore $ccc$ tal que todo ramo é enumerável.
- $\textbf{SH} \Leftrightarrow$ não existe uma árvore de Suslin.
Consideramos o forcing $\mathbb{P}$ o conjunto das árvores $T$ de altura menor que $\omega_1$ tais que se $t \in T$, então $t: \alpha \rightarrow \omega$ é uma função, $\alpha$ ordinal enumerável, e $T$ é ordenado pela extensão usual de funções. Além disso, $T \in \mathbb{P}$ são tais que, para algum $\alpha$ ordinal enumerável:
- $\forall t \in T \,\, h(t)<\alpha \Rightarrow t ^\smallfrown n \,\, \in T \, \forall n \in \omega$.
- $\forall t \in T \, t: \beta \rightarrow \omega \, \beta < \alpha$ (i.e. bifurca enumeravelmente).
- $T$ só tem uma raiz.
- Todo elemento pode ser estendido a um ramo de qualquer tamanho menor que a altura da árvore.
Dados $p,q \in \mathbb{P}$ defina $q \leq p$ se, e somente se, $q$ é uma extensão final de $p$, ou seja, $h(p) \leq h(q)$ e $p=\{s \in q:h(s) \leq h(p)\}$.
1 Mostre que $\mathbb{P}$ é um forcing.
2 Mostre que $\mathbb{P}$ é enumeravelmente fechado. Note que $\mathbb{P}$ preserva $\omega_1$.
3 Considere $\dot{G}$ em $\mathbb{P}$ e $\mathcal{T} = \bigcup\limits_{T \in \dot{G}} T$. Mostre que $h(\mathcal{T})=\omega_1$.
Veja que, de modo que $\mathcal{T}$ seja uma árvore de Suslin, basta que seja $ccc$.
Dada uma árvore $T$, dizemos que $S \subset T$ (não necessariamente uma árvore) é limitado em $T$ se $\exists \alpha < h(T)$ tal que $\forall s \in S \,\, h(s) \leq \alpha$.
Note que um subconjunto de uma árvore de altura um ordinal sucessor é sempre limitado.
Antes de prosseguir mostraremos alguns fatos gerais sobre árvores:
4 Se $A$ é anticadeia maximal em $T$, então para qualquer $t \in T$, existe um ramo $r_t$ tal que $\downarrow t \subset r_t$ e $\exists a \in A$ tal que $a \in r_t$. (Um ramo é uma cadeia maximal em uma árvore).
5 Se $A$ é uma anticadeia maximal em $T$, então $A$ é anticadeia maximal em qualquer extensão final de $T$.
6 Seja $T \in \mathbb{P}$ de altura $\alpha$ um ordinal limite e $A$ uma anticadeia maximal em $T$. Então, existe $T' \in \mathbb{P}$, $T \subset T'$ tal que $h(T')=\alpha+1$ e $A$ é anticadeia maximal em $T'$.
Vamos mostrar que, sendo $A$ uma anticadeia maximal em $\mathcal{T}$, $A$ é enumerável.
7 Mostre que, se a afirmação acima é válida, então $\mathcal{T}$ é uma árvore de Suslin.
8 Seja $\dot{A}$ nome e $T \in \dot{G}$ tais que $T \Vdash ``\dot{A} \text{ é anticadeia maximal em } \mathcal{T}"$. Considere o conjunto $D = \{ T' \leq T : \text{ existe uma anticadeia maximal } A' \text{ em } T' \text{ tal que } T' \Vdash ``A' \subset \dot{A}" \}$. Seja $T_0 \leq T$. Mostre que, para todo $s \in T_0$ existe $T_{0}^{s}$ extensão de $T_0$ e $t_s \in T_{0}^{s}$ satisfazendo: Dica
- $s$ e $t_s$ são comparáveis.
- $T_{0}^{s} \Vdash ``t_s \in \dot{A}"$.
9 Usando o exercício anterior, mostre que é possível construir uma cadeia $T_0 \geq T_1 \geq \ldots$ tal que cada $T_{n+1}$ estende $T_n$ e: Dica $$\forall s \in T_n \, \exists t_s \in T_{n+1} \,\,\,\,\, \left( s \subset t_s \lor t_s \subset s \right) \land T_n \Vdash ``t_s \in \dot{A}"$$
10 Defina:
$$T_{\infty} = \bigcup\limits_{n=0}^{\infty} T_n$$ $$A' = \{ t_s : s \in T_{\infty} \}$$
Mostre que existe uma extensão $T'$ de $T_{\infty}$ de modo que $A'$ é uma anticadeia maximal limitada em $T'$ e a altura de $T'$ é um ordinal sucessor. Conclua que $D$ é denso abaixo de $T$, de modo que $D' = D \cup \{T' \in \mathbb{P}:T' \text{ é incompatível com } T\}$ é denso em $\mathbb{P}$.
11 Use a genericidade de $\dot{G}$, o resultado do exercício anterior e o exercício 5 para mostrar que $\dot{A}$ é enumerável. Conclua a consistência de $\neg$SH.
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