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Princípio do Máximo
Dados $a$ e $b$ elementos de uma álgebra de Boole, dizemos que $a$ e $b$ são incompatíveis, denota-se $a \perp b$ se $ab=0$.
Seja $u = \left( u_i \, : \, i \in I \right)$ uma sequência de nomes e $a = \left( a_i \, : \, i \in I \right)$ uma sequência de elementos de A. Definimos o nome $M_a^u$ de modo que:
- $\mathrm{dom}(M_a^u) = \bigcup\limits_{i \in I} \mathrm{dom}(u_i)$
- $M_a^u(x) = \underset{i \in I}{\mathrm{sup}} \, a_i [\![ x \in u_i ]\!]$
1 Sejam $a$ e $u$ como definidos acima. Fixado $i$, mostre que $\forall x \in \text{dom}(u_i), \, a_i u_i(x) \leq [\![x \in M_a^u]\!]$
2 Suponha $\forall i,j \in I \,\, a_i a_j \leq [\![ u_i = u_j ]\!]$. Mostre que $\forall i \in I \,\, a_i M_a^u(x) \leq [\![ x \in u_i ]\!]$.
3 Prove o Lema da Mistura: Seja $a = \langle a_i : i \in I \rangle$ sequência de elementos de $A$ e $u = \langle u_i : i \in I \rangle$ sequência de nomes. Suponha que $$\forall i, j \in I \,\, a_i a_j \leq [\![ u_i = u_j ]\!]$$ Então, para todo $i$ em $I$, temos: $$a_i \leq [\![ u_i = M_a^u ]\!]$$ Utilize esta Dica
4 Dada $\varphi$ fórmula, defina $\langle u_{\xi} : \xi < \kappa \rangle$ de modo que $ \{ [\![ \varphi ( \alpha ) ]\!] : \alpha \, \text{nome} \} = \{ [\![ \varphi ( u_{\xi} ) ]\!] : \xi < \kappa \}$. Defina $a_{\xi} = [\![ \varphi ( u_{\xi}) ]\!] - \underset{\zeta < \xi}{\mathrm{sup}} [\![ \varphi (u_{\zeta}) ]\!]$
Mostre que $a_{\xi} \leq [\![ u_{\xi} = M_a^u ]\!]$.
5 Prove o Princípio do Máximo: Dada $\varphi$ fórmula, existe $\sigma$ nome de modo que $[\![ \exists x \, \varphi (x) ]\!] = [\![ \varphi ( \sigma ) ]\!]$.
6 Se $\varphi$ é o Axioma da Escolha, $[\![ \varphi ]\!] = 1$.
Lembrete: o Axioma da Escolha é escrito como:
$$\forall \mathcal{F} \, ( \forall F \in \mathcal{F} \, \exists x \in F ) \rightarrow \, (\exists f: \mathcal{F} \rightarrow \bigcup \mathcal{F} \, \wedge \forall F \in \mathcal{F} \, f(F) \in F)$$
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