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Vizinhanças
Comecemos com uma noção quantitativa de proximidade:
Seja $X$ um conjunto. Dizemos que uma função $d: X \times X \rightarrow \mathbb R$ é uma métrica sobre $X$ se, dados $x, y, z \in X$, temos:
- $d(x, y) \geq 0$
- $d(x, y) = 0$ se, e somente se, $x = y$
- $d(x, y) = d(y, x)$
- $d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y)$
Ao par $(X, d)$ nesta condições, damos o nome de espaço/métrico; espaço métrico
1 Mostre que $d(x, y) = |x - y|$ é uma métrica sobre $\mathbb R$ (esta é a métrica usual sobre $\mathbb R$).
Agora vejamos uma noção qualitativa de proximidade:
Seja $X$ um conjunto. Dizemos que uma família não vazia $\mathcal F$ de subconjuntos de $X$ é um filtro sobre $X$ se
- $\emptyset \notin \mathcal F$;
- se $A, B \in \mathcal F$ então $A \cap B \in \mathcal F$;
- se $A \in \mathcal F$ e $A \subset B$, então $B \in \mathcal F$.
Os elementos do filtro em algum sentido indicam a proximidade com relação a um ponto:
Sejam $X$ um conjunto e $x \in X$. Dizemos que uma família $\mathcal V$ de subconjuntos de $X$ forma um sistema de vizinhanças* de $x$ se $\mathcal V$ é um filtro sobre $X$ e, para todo $V \in \mathcal V$ temos que $x \in V$. Cada elemento de $\mathcal V$ é chamado de vizinhança* de $x$.
2 Seja $X$ um conjunto qualquer e seja $x \in X$. Mostre que $\mathcal V = \{V \subset X: x \in V\}$ é um sistema de vizinhanças* de $x$.Solução
3 Considere $\mathbb N$ o conjunto dos naturais. Dado $n \in \mathbb N$, considere $\mathcal V_n = \{A \subset \mathbb N: \exists m \in \mathbb N_{> 0} \ n + km \in A$ para todo $k \in \mathbb N\}$.
3.1 Mostre que $\mathcal V_n$ é um sistema fundamental de vizinhanças* para $n$. Essas são as vizinhanças de Zariski de $n$.
3.2 O conjunto $\mathbb N$ é uma vizinhança* de $1$? O conjunto dos pares é uma vizinhança* de $8$? O conjunto das potências de $2$ é uma vizinhança* de $2$?
Seja $(X, d)$ um espaço métrico. Seja $x \in X$ e $r \in \mathbb R_{>0}$. Denotamos por $B_r(x)$ o conjunto $\{y \in X: d(x, y) < r\}$. Chamamos tal conjunto de bola aberta de raio $r$ e centro $x$.
4 Considere $\mathbb R^2$ com a métrica dada por $d((x, y), (a, b)) = \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}$. Desenhe $B_1((0, 0))$.
5 Seja $(X, d)$ um espaço métrico. Seja $x \in X$. Mostre que $\mathcal V = \{V \subset X: \exists r \in \mathbb R_{>0} B_r(x) \subset V\}$ é um sistema de vizinhanças* de $x$ (essas são as vizinhanças usuais em métricos).Solução
6 Considere a métrica usual de $\mathbb R$ e suas respectivas vizinhanças. Verifique se $]-\sqrt{2}, \sqrt{3}[$, $[0, 1[$ e $[-4, 3]$ são vizinhanças* de $0$.
Seja $X$ um conjunto e para cada $x \in X$, seja $\mathcal V_x$ um sistema de vizinhanças* para $x$. Dizemos que $A \subset X$ é aberto* se para todo $a \in A$, $A$ é uma vizinhança* de $a$.
7 Considere $\mathbb R$ com as vizinhanças* definidas acima. Verifique quais dos seguintes conjuntos são abertos^*: $[0, 1]$, $]0, 1[$, $\mathbb R \smallsetminus \{0\}$, $\mathbb R$.
8 Seja $X$ um conjunto qualquer e, para cada $x \in X$ seja $\mathcal V_x$ um sistema fundamental de vizinhanças* para $x$. Mostre que:
8.1 $\emptyset$ e $X$ são abertos*;
8.2 Se $A$ e $B$ são abertos* em $X$, então $A \cap B$ também é aberto*.
8.3 Se $\mathcal A$ é uma família qualquer de abertos*, então $\bigcup_{A \in \mathcal A} A$ também é aberto*.
A coleção de todos os abertos de um espaço é chamada de topologia e normalmente é denotada pela letra $\tau$. O par $(X, \tau)$ é chamado de espaço/topológico; espaço topológico. Normalmente, se define um espaço topológico de maneira direta, isto é, considera-se um conjunto $X$ e uma família $\tau$ de tal maneira que satisfaça as condições do último exercício. Neste caso, uma vizinhança de um ponto $x$ nada mais é que um conjunto $V$ tal que exista um aberto $A \in \tau$ tal que $x \in A \subset V$. Vamos chamar de sistema fundamental de vizinhanças de um ponto $x$, uma coleção $\mathcal V$ de vizinhanças de $x$ tal que, para todo $A$ aberto tal que $x \in A$, existe $V \in \mathcal V$ tal que $V \subset A$. Vamos ver que os tais conceitos são equivalentes nos próximos exercícios.
9 Seja $(X, \tau)$ é um espaço topológico e, para cada $x \in X$, seja $\mathcal V_x$ o conjunto de todas as vizinhanças de $x$.
9.1 Mostre que cada $\mathcal V_x$ é um filtro.
9.2 Considere $\sigma = \{A \subset X: A$ é aberto*$\}$. Mostre que $\sigma = \tau$.
10 Seja $X$ um conjunto e, para cada $x \in X$ seja $\mathcal V_x$ sistema fundamental de vizinhanças* de $x$. Suponha que $(\mathcal V_x)_{x \in X}$ satisfaça a seguinte condição de compatibilidade: Para todo $x \in X$ e todo $V \in \mathcal V_x$, existe $A \in \mathcal V_x$ tal que $A \subset V$ e $A$ é aberto*.
10.1 Mostre que $\tau = \{A \subset X: A$ é aberto*$\}$ é uma topologia sobre $X$.
10.2 Para cada $x \in X$, seja $\mathcal W_x$ o conjunto das vizinhanças de $x$. Mostre que, para cada $x \in X$, $\mathcal W_x = \mathcal V_x$.
Seja $(X, \tau)$ espaço topológico. Seja $Y \subset X$. Chamamos de topologia/subespaço;topologia de subespaço para $Y$ a coleção $\{Y \cap A: A \in \tau\}$.
11 Mostre que a topologia de subespaço de fato é uma topologia sobre $Y$.Solução
Normalmente, usaremos as topologias usuais de cada espaço (a menos de menção contrária). Por exemplo, $\mathbb R$ normalmente terá a topologia apresentada aqui. Se $Y \subset X$ e $X$ é um espaço topológico, então adotaremos a topologia de subespaço em $Y$. Se $(X, d)$ é um espaço métrico, então usaremos a topologia induzida pela métrica $d$ etc.
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