Seja $ S \subset \mathbb{R}^n$ e $ a$ um ponto no interior do $ S$. Seja $ f: S \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $ \frac{\partial f}{\partial x_i} $ exista para todos os pontos numa bola em torno de $ a. $ Para todo $ 1 \leq j \leq n$ por definição $ \frac{\partial^2 f}{ \partial x_j \partial x_i}$ é a derivada parcial (com respeito da variável $ x_j $) da função $ \frac{\partial f}{\partial x_i},$ i.e $ \frac{\partial}{\partial x_j} (\frac{\partial f}{\partial x_i}).$ Essa derivada é chamada de derivada parcial de segunda ordem.

Notações: $D_{ij} f(a)$ ou $ \frac{\partial^2}{ \partial x_j \partial x_i} (a)$ representam a segunda derivada parcial (primeiramente com respeito da $ x_i$ e depois $ x_j.$)

\textbf{Observação:} Para uma função de $n$ variáveis podemos ter $ n^2$ derivadas parciais de segunda ordem, mais geral, para uma função de $n$ variáveis podemos ter $n^k$ derivadas parciais de ordem $k$.

Exemplo: Seja $f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ dada por $$ f(x,y)=x^3y+e^{y^2}. $$ Temos que $ \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y, \frac{\partial f}{\partial y} = x^3+2ye^{y^2}, \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}= 6xy,\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2e^{y^2}+4y^2e^{y^2}, \frac{\partial^2 f}{ \partial x \partial y} =3x^2, \frac{\partial^2 f}{ \partial y \partial x} = 3x^2 $

Seja $f:D\rightarrow\mathbb{R}$ e $S\subset D$ aberto.

(1) Dizemos que $f$ é de classe $\mathcal{C}^k$ em $S$ ($f\in\mathcal{C}^k(S)$ se f é contínua e todas as suas derivadas parciais até a ordem $k$ existem e são contínuas em todo $S$.

(2) Dizemos que $f$ é de classe $\mathcal{C}^\infty$ em $S$ ($f\in\mathcal{C}^\infty(S)$ se f é contínua e todas as suas derivadas parciais de todas as ordens existem e são contínuas em todo $S$.

Teorema (Schwarz, Clairut): Seja $ S \subset \mathbb{R}^n$, $ a \in S $ um ponto no interior de $S$ e $ f\in\mathcal{C}^2(S)$, isto é, tal que ambas as derivadas parciais $ \frac{\partial^2}{ \partial x_j \partial x_i} $ e $ \frac{\partial^2}{ \partial x_i \partial x_j} $ existem e são contínuas em $S$, então $ \frac{\partial^2}{ \partial x_j \partial x_i} f(a) = \frac{\partial^2}{ \partial x_i \partial x_j}f(a).$

Corolário 1: Seja $S\in\mathbb{R}^n$ aberto e $f\in\mathcal{C}^k(S)$, então, em $S$, a ordem de derivação não importa para as derivadas parciais até a ordem $k$.

Corolário 2: Seja $S\in\mathbb{R}^n$ aberto e $f\in\mathcal{C}^\infty(S)$, então, em $S$, a ordem de derivação não importa para as derivadas parciais de qualquer ordem.

Exemplos: Funções polinomiais pertencem à classe $\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}^n)$; Soma, produto, compostas de funções que pertencem à classe $\mathcal{C}^k(S)$ são funções de classe $\mathcal{C}^k(S)$.

Exemplo onde não temos simetria: Considere $ f(x)=\frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2} , (x,y) \neq (0, 0)$ e $ f(0, 0)=0.$ Usando definição da derivada podemos ver que $ f_x(0, 0)=0, f_y(0, 0)=0.$ Entretanto, $ f_y(x, 0)=x$, de fato

$ f_y(x, 0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x, h) - f(x, 0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{xh(x^2 - h^2)}{ h(x^2 + h^2)} = x.$

Por outro lado, $ f_x(0, y)= -y$ e então $ f_{xy}(0, 0)=-1$ e $ f_{yx}(0, 0)=1.$ ($ f_{yx}(0, 0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f_y(h, 0)-f_y(0, 0)}{h}= 1).$ Assim, temos $$ \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\neq\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}. $$

Regra da Cadeia:

Lembram da famosa regra da cadeia no cálculo 1?

$ (f \circ g)^{'}(x) = f^{'}(g(x)) g^{'}(x).$

Pois é, a mesma regra vale para funções de várias variáveis! Porém precisamos ter cuidado em aplicar.

Sejam $ S, T$ subconjuntos de $ \mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m$ e $ f: S \rightarrow \mathbb{R}^m, g: T \rightarrow \mathbb{R}^p.$ Sejam $ a \in S$ um ponto do interior e $ b=f(a)$ um ponto do interior de $ T$ então se $ g$ e $ f$ forem diferenciáveis respectivamente nos pontos $ a, b$ então $ D (g\circ f)(a) = Dg(b). Df(a).$

Observem que $ Df(a)$ é uma matriz $ m \times n$, enquanto $ Dg(b)$ é uma matriz $ p \times m$ e portanto produto delas na órdem que aprecem na fórmula acima faz sentodo e é uma matriz $ p \times n.$

Casos especiais de mais interesse:

Seja $\gamma: I \rightarrow \mathbb{R}^2$ uma curva e $ f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ uma função real. Então

$ f \circ \gamma : I \rightarrow \mathbb{R}$ é uma função de uma variável real. Pela regra de cadeia

$ (f \circ \gamma)^{'}(t) = Df(\gamma(t)). D\gamma(t).$

Suponhamos que $ \gamma = (\gamma_1, \gamma_2)$. Então

$ Df(\gamma(t)) = [f_x(\gamma(t)), f_y(\gamma(t))]$ e $ D\gamma(t)$ é uma matriz $ 1\times 2$ com entradas $ \gamma_1^{'}(t), \gamma^{'}_2(t)$ e portanto usando regra de cadeia temos

$ (f\circ \gamma)^{'}(t) = f_x(\gamma(t)) \gamma_1^{'}(t) + f_y(\gamma(t)) \gamma_2^{'}(t)$ e isto pode ser escrita de uma forma mais simpática:

$ \nabla f (\gamma(t)) (\gamma_1^{'}(t), \gamma_2^{'}(t)).$

Corolário: “O vetor gradiente é ortogonal as curvas de nível”. Isto é, seja $ f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ uma função diferenciável e considere um ponto $ a$ pertencente a curva de nível $ c \in \mathbb{R}.$ Então pela definição da curva de nível se parametrizarmos a curva (ou considerarmos uma curva dentro da superfície de nível em geral): $ \gamma: I \rightarrow \mathbb{R}^2$ tal que $ \gamma(0)=a$, então $f \circ \gamma (t) = c$ para todo $ t \in I$ e por ser uma função constante $ f\circ \gamma$ tem derivada zero:

$ \nabla f(a) . (\gamma_1^{'}(0), \gamma_2^{'}(0)) = 0$

e isto significa que o traço da curva $ \gamma$ é ortogonal ao vetor gradiente $ \nabla f(a)$ no ponto $ \gamma(0)=a.$

Exemplo: Seja $ f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $ z= f(x, y)= x^2 - y^2.$ Podemos considerar coordenadas polares $ (r, \theta)$. Vamos calcular derivada de $ z$ com respeito das variáveis polares $ r, \theta.$

Bem, $ z= r^2 cos^2(\theta) - r^2 sen^{2}(\theta).$ Então:

$ \frac{\partial z}{\partial r} = 2r cos^2(\theta) - 2r sen^2(\theta)= 2r cos(2 \theta).$

$ \frac{\partial z}{\partial \theta} = -2r^2 cos(\theta)sen(\theta) - 2r^2 sen(\theta) cos(\theta)= -2r^2 sen(2 \theta). $

Agoravamos usar regra da cadeia:

$ [\frac{\partial z}{\partial r} \frac{\partial z}{\partial \theta} ] = [\frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial z}{\partial y}] \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r}& \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{bmatrix}$

Observem que:

$ \frac{\partial z}{\partial x} = 2x= 2rcos(\theta)$

$ \frac{\partial z}{\partial y} = -2y= -2r sen(\theta)$

$ \frac{\partial x}{\partial r} = cos(\theta)$

$ \frac{\partial x}{\partial \theta} = -r sen(\theta)$

$ \frac{\partial y}{\partial r} = sen(\theta)$

$ \frac{\partial y}{\partial \theta} = r cos(\theta)$

e portanto:

$ [\frac{\partial z}{\partial r} , \frac{\partial z}{\partial \theta}] = [2r cos(\theta) -2r sen(\theta)] \begin{bmatrix} cos(\theta) & -r sen(\theta) \\ sen(\theta)& r cos(\theta) \end{bmatrix} $

$ = [2r cos(2 \theta) , -2r^2 sen(2 \theta)].$

Exercício: Considere a superfície $ z=x^2 - y^2$. Interprete geometricamente $ \frac{\partial z}{\partial r} = 0$ para $ \theta= \frac{\pi}{4}.$

Exemplo: Conservação de energia

Considere um sistema regido por leis de Newton tal que no momento $ t$ esteja na posição $ (x_1, \cdots, x_n)$ e velocidade $ (v_1, \cdots , v_n).$ Por exemplo se $ k$ partículas estejam sob força de gravidade, a posição do sistema (de $ k$ partículas) é determinada por $ n=3k$ componentes de posição e $ 3k$ componentes de velocidade. Observe que $ x_1, \cdots, x_n $ e $ v_1, \cdots, v_n $ sõa funções reais de tempo $ t. $

Uma hipótese física: Existe uma função potencial que apenas depende das posições $ U = U(x_1, \cdots, x_n) $ tal que a força é dada por seguinte fórmula:

$ F = (F_1, \cdots, F_n) = (-\frac{\partial U}{\partial x_1}, \cdots, - \frac{\partial U}{\partial x_n}). $

Definimos a função de energia:

$ E(x_1, \cdots, x_n, v_1, \cdots, v_n) = U + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} m_i v_i^2 $

Aqui $ m_i $ são chamados de massa e no exemplo de $ k $ partículas, $ m_1= m_2=m_3 $ representa a massa da primeria partícula ….

A lei de conservação de energia, estabelece que apesar de que $ x_i, v_i $ variam ao longo do tempo, a energia é constante. Isto é:

$ \frac{ dE}{dt} =0. $

Basta usar regra de cadeia e

$ \frac{ dE}{dt} = \frac{\partial E}{\partial x_1} \frac{\partial x_1}{\partial t} + \cdots + \frac{\partial E}{\partial x_n} \frac{\partial x_n}{\partial t} + \frac{\partial E}{\partial v_1} \frac{\partial v_1}{\partial t} + \cdots + \frac{\partial E}{\partial v_n} \frac{\partial v_n}{\partial t}.$

Agora observe que $ \frac{\partial x_i}{\partial t} = v_i, \frac{\partial v_i}{\partial t} = a_i$ e pela lei do Newton:

$ F = (m_1 a_1, \cdots, m_n a_n)$ e temos:

$ \frac{dE}{dt}= \frac{\partial U}{\partial x_1} v_1 + \cdots + \frac{\partial U}{\partial x_n} v_n + m_1v_1a_1 + \cdots+ m_n a_n v_n=$

$ = (-m_1a_1)v_1 + \cdots+ (-m_n a_n v_n) + m_1v_1a_1 + \cdots+ m_n a_n v_n=0.$