Operações com conjuntos e funções

Lembretes: União enumerável de conjuntos fechados é chamado um conjunto $F_{\sigma}$. Todo intervalo aberto é $F_{\sigma}$. Uma interseção enumerávle de conjuntos abertos é chamado $G_{\delta}.$

$1_A$ ou $\chi_A$ é uma função real ($A$ é um subconjunto de um espaço!): $$ 1_A(x) = \begin{cases} 1 & x \in A\\ 0 & x \notin A \end{cases} $$

Propriedades:

• $1_{A\cap B} = 1_A . 1_B$
• $1_{A^c} = 1 - 1_A = 1 + 1_A (mod-2)$
• $1_{A \cup B} = 1_A + 1_B - 1_A. 1_B.$
• $1_{A \Delta B} = 1_A + 1_B (mod - 2)$
• $1_{\cup_{i=1}^{n} A_i} = \sum_{i \geq 1} 1_{A_i} - \sum_{i < j}1_{A_i \cap A_j} + \cdots + (-1)^{n-1} 1_{A_1\cap \cdots \cap A_n}$
• $1_{\cap_{i=1}^{n} A_i} = \sum_{i \geq 1} 1_{A_i} - \sum_{i < j}1_{A_i \cup A_j} + \cdots + (-1)^{n-1} 1_{A_1\cup \cdots \cap A_n}$

Exerício (Use quinto item acima): $n$ pessoas vestidos de chapeus diferentes vão para uma festa e tiram os chapeus. Na saída cada uma tira um chapeu aleatório. Qual é a probabilidade que ninguem tire seu próprio chapeu? Qual é limite desta probabilidade quando $n$ tende ao infinito.

Seja $A_i$ uma sequência de subconjuntos de um espaço $X$ então

• $\limsup (A_i) := \cap_{k=1}^{\infty} \cup_{j=k}^{\infty} A_j$ (pontos em infinitos $A_n$)
• $\liminf (A_i) := \cup_{k=1}^{\infty} \cap_{j=k}^{\infty} A_j$ (pontos em todos exceto finitos $A_n$)
• $\liminf(A_i) \subset \limsup(A_i)$ e quando coincidem podem dar o luxo de escrever $\lim A_i$ existe.
• Usando funções característica, agora é possível concluir proposições similares as de analise real:

1. Uma sequência monotona de subsconjuntos converge a união deles.
2. Se $B_i \subset A_i$ e $A_i$ converge, então $B_i$ também converge.

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Probabilidade