Já conhecemos sigma-álgebra de Borel e sigma-álgebra formado por conjuntos Lebesgue mensuráveis. Enfatizamos no seguinte fato:

Lembrem que dado qualquer conjunto mensurável $E$ existe um conjunto $G$ que é $G_{\delta}$ tal que $G \setminus E$ tem medida nula. em particular se $B$ é um conjunto Borel (por consequente mensurável) existe tal $G$. Os conjuntos de Borel são difíceis de construir. Porém pelo que acabamos de mencionar: eles são “um pouco mais” de que conjuntos $G_{\delta}.$

1. $\mathbb{Q}$ é um subgrupo aditivo de $\mathbb{R}$
2. Cada classe de equivalência correspondente a quociente $\mathbb{R} / \mathbb{Q}$ é denso em $\mathbb{R}.$
3. Escolhe (Axioma de escolha) um elemento $x_C \in C \cap [0, 1]$ para cada classe de equivalência $C$, $E := \{x_C : C \in \mathbb{R} / \mathbb{Q} \}$.
4. $[0, 1] \subset \bigcup_{q \in \mathbb{Q} \cap [-1, 1]} (E+ q)$ e Claro que $\bigcup_{q \in \mathbb{Q} \cap [-1, 1]} (E+ q) \subset [-1, 2]$
5. Agora mostramos que $E$ não pde ser mensurável. Pois se não $$ m(\bigcup_{q \in \mathbb{Q} \cap [-1, 1]} (E+ q)) = \sum_q m(E+q)$$
6. a serie acima ou diverge (caso $m(E+q)=m(E) \neq 0$) ou é igual a zero que em ambos os casos contradiz (4) e a propriedade de monotonicidade de medida.

Agora vamos verificar que a medida exterior em geral nem sequer é finitamente aditiva. Por efeito, o conjunto $E$ construído acima tem medida exterior positiva. Por quê?

Entretanto se a medida exterior fosse finitamente aditiva, teriamos que $m^* ([-1, 2]) \geq \sum_{i=1}^{n} m^*(E+q_i) $ e escolhendo $n$ grande teriamos absurdo.

Podemos usar o conjunto não mensurável acima construido para apresentar uma sequência de conjuntos $E_n$ decrescentes $E_{n+1} \subset E_n$ tais que $m^*(\cap E_n) < \lim_{n \rightarrow \infty} m^*(E_n).$ Veja aqui.

Mostre que não existe nenhum subconjunto compacto dentro de $E$ com medida exterior positivo.

Se $E$ é um conjunto mensurável em $\mathbb{R}^2$ então sua projeção $]pi(E)$ pode não ser mensurável, onde $\pi (x, y):=x$.Veja aqui.