Bem vindos ao espaço de medida: Aqui precisamos de um espaço que essencialmente pode ser qualquer conjunto (que poderia ser um grupo, espaço topológico,…) e além do espaço $X$ precisamos de uma sigma-álgebra $\mathcal{B}$:
Lembrete: $\mathcal{B} \subset \mathcal{p}(X)$ é sigma álgebra se:
- $\emptyset \in \mathcal{B}$
- $A \in \mathcal{B}$ então $A^c \in \mathcal{B}$
- $A_i, i=1, \cdots \in \mathcal{B}$ então $\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \in \mathcal{B}.$
Exercício: Mostre que se $E_i \in \mathcal{B}$ então $\limsup E_i, \liminf E_i \in \mathcal{B}.$
Além de sigma álgebra, precisamos de uma medida que “mede” o tamanho dos conjuntos em $\mathcal{B}$ que serão chamados conjuntos mensuráveis. Uma medida $\mu : \mathcal{B} \rightarrow [0,\infty]$ tem que ser enumerávelmente aditiva e $\mu(\emptyset)=0.$ Com aditividade referimos:
Se $A_i$ uma quantidade enumerável de subconjuntos disjuntos em $\mathcal{B}$ então $\mu(\bigcup A_i) = \sum \mu(A_i).$
$\sigma-$álgebra gerada por uma coleção
Dada uma coleção $F \subset \mathcal{P}(X)$ denotamos por $\sigma(F)$ a sigma álgebra gerada por $F$ que é a intersecção de todas as sigma-álgebras que contém $F.$
Exemplo: Considere Todos os conjuntos de medida de Lebesgue exterior zero ou com complemento com medida exterior de Lebesgue zero. Então essa coleção é uma sigma-álgebra e portanto é a sigma-álgebra gerada por conjuntos de medida exterior Lebesgue nulo.
Alguns exemplos simples; Medida de Dirac, restrição de medidas, medida de contágem,
Sejam $\mu_i$ medidas então $\sum \mu_i$ também é uma medida.
Medida e sequência de conjuntos
Sejam $E_1 \subset E_2 \subset E_3 \subset \cdots$ uma sequência crescente, então $$ \mu(\cup E_i) = \lim_{i \rightarrow \infty} \mu(E_i) $$ e se $E_i$ é uma sequência decrescente de conjuntos e $\mu(E_n) < \infty$ para algum $n$, então $$ \mu(\cap E_i) = \lim_{i \rightarrow \infty} \mu(E_i) $$
Para provar a segunda afirmação suponhamos que $n=1$ e temos: $E_1 = \bigcup_{i=1}^{\infty} (E_i \setminus E_{i+1}) \cup \cap_{i=1}^{\infty} E_i$ usando aditividade da medida temos: $$ \mu(E_1) = \mu(E_1) - \lim_{i \rightarrow \infty} m(E_i) + \mu(\cap_{i=1}^{\infty} E_i) $$ e já que $\mu(E_1) < \infty$ podemos cancelar de dois lados da equção acima e concluímos o resultado.
Considere $E_n = \mathbb{R} \setminus ([n, \infty) \cup (-\infty, -n])$ verifique que este exemplo mostra que a hipótese de $\mu(E_1) < \infty$ era necessário no argumento acima.
Lembramos que dada uma sequência $E_i \subset X$ o limite existe quando $$\limsup E_i = \liminf E_i$$
Exercício: Mostre que $\lim_{i \rightarrow \infty} E_i = E$ se somente se $1_{E_i}$ converge pontualmente a $1_{E}.$ Observe que $1_{E_i} : X \rightarrow R$ é a função característica de $E_i.$
Exercício: Mostre que se $\lim E_n = E$ então $\limsup_{n \rightarrow \infty} (E_n \Delta E) = \emptyset.$
Teorema (convergência dominada para conjuntos): Sejam $E_n, n=1,2, \cdots$ mensuráveis e existe $F \in \mathcal{B}$ com medida finita, $\mu(F) < \infty$ tal que $E_i \subset F$ para todo $i$ , então $$ \lim \mu(E_n) = \mu(\lim E_n).$$ Claro que estamos assumindo que o limite de $E_n$ existe.
Demonstração: Já que $E_n \subset F$ e que $\bigcup_{n \geq N} E_n \Delta E$ é uma sequência decrescente e sempre tem medida finita e portanto $0 = \lim_{N \rightarrow \infty} \mu(\bigcup_{n \geq N} E_n \Delta E)$. Portanto $\lim_{N \rightarrow \infty} \mu(E_N \Delta E) = 0$ e agora não é dificil ver que isto implica que $\lim_{N \rightarrow \infty} \mu(E_N) = \mu(E).$ De fato $$ |\mu(E) - \mu(E_N)| \leq \mu(E \Delta E_N).$$
Exercício: No teorema acima realmente precisamos que $E_n \subset F$ com $F$ de medida finita. Mostre com um exemplo que não poderiamos assumir apenas que $\mu(E_n) < \infty.$
Discussion