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Resolver exercícios 1.2.18, 1.2.19, 1.3.3 (Vi, Vii), 1.3.4 e 1.3.6 do livro Tao.

1. Mostre que se $E \subset \mathbb{R}^d$ é Jordan mensurável então $$ m(E) = \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N^d} \sharp \{E \cap \frac{\mathbb{Z}^d}{N}\} $$

2. Para todo conjunto Lebesgue mensurável $E$ existe algum conjunto $F$ na $\sigma$-algebra de Borel com tal que $m^*(E \Delta F) = 0.$

3. Seja $E \subset \mathbb{R}^d$. Mostre que os seguintes itens são equivalentes:

• $E$ é mensurável, i.e para todo $\epsilon > 0$ existe aberto $U$ tal que $m^*(U \setminus E) \leq \epsilon.$
• Para todo $\epsilon > 0$ existe $U$ aberto tal que $m^*(U \setminus E) \leq \epsilon.$
• Para todo $\epsilon > 0$ existe fechado $F$ tal que $m^*(E \setminus F) \leq \epsilon.$
• Para todo $\epsilon > 0$ existe $F \subset E$ fechado tal que $m^*(E \setminus F) \leq \epsilon.$
• Para todo $\epsilon > 0$ existe um conjunto Lebesgue mensurável $E_{\epsilon}$ tal que $m^*(E \setminus E_{\epsilon}) \leq \epsilon.$

4. Exercício 1.2.5 do livro de T. Tao.

5. Usando definições mostre que o conjunto de Cantor ternário tem medida exterior de Lebesgue zero.