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Integral de Lebesgue
Enquanto a integração de Riemann usa uma partição de domínio de função, a ideia genial do Lebesgue foi “considerar partição de contra-domínio”! Essa aparentemente pequena mudança de ponto de vista revolucionou a teoria de integração e análise.
Uma inquietação de Lebesgue era que a fórmula de teorema fundamental de cálculo não valia para funções diferenciáveis cujas derivada não fosse Riemann integrável!
Seja $\alpha < f < \beta$ uma função com domínio $[a, b].$ Então considere uma partição $\alpha = y_0 < y_1 < \cdots < y_n= \beta$. Então as pre-imagens de $[y_{k-1}, y_k)$, i.e $\{x \in [a, b], f(x) \in [y_{k-1}, y_k)\}$ são disjuntos e naturalmente particionam o domínio. Porém, claramente os elementos desta partição não são necessariamente intervalos e ai surge a definição de funções mensuráveis para iniciar o papo de integração de Lebesgue.
Escolha $c_k \in f^{-1}[y_{k-1}, y_k)$, quando este conjunto não é vazio e considere seguinte soma: $$ \sum_{k=1}^{n} f(c_k) m(f^{-1}[y_{k-1}, y_k)) $$ Observe que estamos usando a mensurabilidade de $E_k:= f^{-1}[y_{k-1}, y_k)$ para escrever a soma acima. Observe que $$ \sum y_{k-1} m(E_k) \leq \sum f(c_k) m(E_k) \leq \sum y_k m(E_k) $$ e por definição as somas comparadas acima (somas inferior, soma por pontos de amostra, soma superior) estão entre $\alpha (b-a)$ e $\beta (b-a).$
A ideia de Lebesgue foi (vamos fazer as definições mais rigorosas):
Declarar $f$ Lebesgue integrável se o supremo de somas inferiores é igual a ínfimo de somas superiores.
Claramente precisamos definir funções mensuráveis.
Em particular ele concluiu
Seja $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ uma função mensurável e limitada. então $f$ é lebesgue integrável.
Demonstração:
- É fácil ver que adicionando pontos na partição (de contra-domínio) não aumenta a soma supeior e não diminui a soma inferior.
- Toda soma superior é maior de que qualquer soma inferior. Basta considerar a união de duas partições. Até aqui parecido com propriedades de soma de Riemann. Portanto o supremo de somas inferiores é menor ou igual ao ínfimo de somas superiores.
- Basta agora tomar uma partição $\alpha = y_0 < y_1 < \cdots < y_n=b$ tal que $y_n - y_{n-1} \leq \frac{\epsilon}{b-a}.$
- $\alpha (b-a) \leq \sum_{k=1}^{n} y_{k-1} m(E_k) \leq \sum_{k=1}^{n} y_{k} m(E_k) \leq \beta (b-a)$
Precisamos enfatizar que não precisamos que a função seja limitada para definir integral de Lebesgue. O resultado supracitado é apenas para mostrar o poder da integral de Lebesgue. Por exemplo a função de Dirichlet que não era Riemann integrável, é Lebesgue integrável.
Um resultado importante a ser destacado é:
Toda função limitada em $[a, b]$ é Lebesgue integrável se somente se for mensurável.
Demonstraçnao: Já mostramos que a mensurabilidade implica integrabilidade no caso de uma função limitada. Agora suponhamos $f$ ser integrável. Primeiro observem que existem partições $P_n$ de $[a, b]$ por conjuntos mensuráveis ($P_n$ é mais refinada que $P_{n-1}$) de tal forma que $$ \sum_{E \in P_n} (sup(f) - inf(f)) m(E_n) < 1/n. $$
Considere $\phi_n := inf f$, i.e $\phi_n |_{E} = inf f|_{E}, E \in P_n$ e defina similarmente $\psi_n = sup f$ em $P_n.$ Observe que $$ \phi_{n-1} \leq \phi_n \leq \psi_n \leq \psi_{n-1}. $$ Já que se tratam de funções monótonas, conclúimos que $\lim \phi_n, \lim_{\psi_n}$ existem e $\lim \phi_n \leq f \leq \lim \psi_n.$