Integral de Lebesgue
Enquanto a integração de Riemann usa uma partição de domínio de função, a ideia genial do Lebesgue foi “considerar partição de contra-domínio”! Essa aparentemente pequena mudança de ponto de vista revolucionou a teoria de integração e análise.
Uma inquietação de Lebesgue era que a fórmula de teorema fundamental de cálculo não valia para funções diferenciáveis cujas derivada não fosse Riemann integrável!
Seja α<f<β uma função com domínio [a,b]. Então considere uma partição α=y0<y1<⋯<yn=β. Então as pre-imagens de [yk−1,yk), i.e {x∈[a,b],f(x)∈[yk−1,yk)} são disjuntos e naturalmente particionam o domínio. Porém, claramente os elementos desta partição não são necessariamente intervalos e ai surge a definição de funções mensuráveis para iniciar o papo de integração de Lebesgue.
Escolha ck∈f−1[yk−1,yk), quando este conjunto não é vazio e considere seguinte soma: n∑k=1f(ck)m(f−1[yk−1,yk)) Observe que estamos usando a mensurabilidade de Ek:=f−1[yk−1,yk) para escrever a soma acima. Observe que ∑yk−1m(Ek)≤∑f(ck)m(Ek)≤∑ykm(Ek) e por definição as somas comparadas acima (somas inferior, soma por pontos de amostra, soma superior) estão entre α(b−a) e β(b−a).
A ideia de Lebesgue foi (vamos fazer as definições mais rigorosas):
Declarar f Lebesgue integrável se o supremo de somas inferiores é igual a ínfimo de somas superiores.
Claramente precisamos definir funções mensuráveis.
Em particular ele concluiu
Seja f:[a,b]→R uma função mensurável e limitada. então f é lebesgue integrável.
Demonstração:
- É fácil ver que adicionando pontos na partição (de contra-domínio) não aumenta a soma supeior e não diminui a soma inferior.
- Toda soma superior é maior de que qualquer soma inferior. Basta considerar a união de duas partições. Até aqui parecido com propriedades de soma de Riemann. Portanto o supremo de somas inferiores é menor ou igual ao ínfimo de somas superiores.
- Basta agora tomar uma partição α=y0<y1<⋯<yn=b tal que yn−yn−1≤ϵb−a.
- α(b−a)≤∑nk=1yk−1m(Ek)≤∑nk=1ykm(Ek)≤β(b−a)
Precisamos enfatizar que não precisamos que a função seja limitada para definir integral de Lebesgue. O resultado supracitado é apenas para mostrar o poder da integral de Lebesgue. Por exemplo a função de Dirichlet que não era Riemann integrável, é Lebesgue integrável.
Um resultado importante a ser destacado é:
Toda função limitada em [a,b] é Lebesgue integrável se somente se for mensurável.
Demonstração: Já mostramos que a mensurabilidade implica integrabilidade no caso de uma função limitada. Agora suponhamos f ser integrável. Primeiro observem que existem partições Pn de [a,b] por conjuntos mensuráveis (Pn é mais refinada que Pn−1) de tal forma que ∑E∈Pn(sup(f)−inf(f))m(En)<1/n.
Considere ϕn:=inff, i.e ϕn|E=inff|E,E∈Pn e defina similarmente ψn=supf em Pn. Observe que ϕn−1≤ϕn≤ψn≤ψn−1. Já que se tratam de funções monótonas, conclúimos que limϕn,limψn existem e limϕn≤f≤limψn.
Finalmente afirmamos que ϕ=ψ em quase todo ponto. Assim provamos que ambas são iguais a f em quase todo ponto e portanto já que ϕn,ψn são mensuráveis, seu limite também é e portanto f é mensurável (pois coincide q.t.p com uma função mensurável).
Para provar afrimação, seja E={x∈[a,b],ψ(x)−ϕ(x)>0}=⋃m{x∈[a,b],ψ(x)−ϕ(x)>1/m} ⊂⋃m{x∈[a,b],ψn(x)−ϕn(x)>1/m} Porém já que ∫ba(ψn−ϕn)<1/n (integral de Lebesgue) temos
1mm({x∈[a,b],ψn(x)−ϕn(x)>1/m})<1n
e consequentemente m({x∈[a,b],ψn(x)−ϕn(x)>1/m})<mn. Já que para todo n temos a desigualdade acima, concluímos a demonstração.