Uma inquietação de Lebesgue era que a fórmula de teorema fundamental de cálculo não valia para funções diferenciáveis cujas derivada não fosse Riemann integrável!

Seja $\alpha < f < \beta$ uma função com domínio $[a, b].$ Então considere uma partição $\alpha = y_0 < y_1 < \cdots < y_n= \beta$. Então as pre-imagens de $[y_{k-1}, y_k)$, i.e $\{x \in [a, b], f(x) \in [y_{k-1}, y_k)\}$ são disjuntos e naturalmente particionam o domínio. Porém, claramente os elementos desta partição não são necessariamente intervalos e ai surge a definição de funções mensuráveis para iniciar o papo de integração de Lebesgue.

Escolha $c_k \in f^{-1}[y_{k-1}, y_k)$, quando este conjunto não é vazio e considere seguinte soma: $$ \sum_{k=1}^{n} f(c_k) m(f^{-1}[y_{k-1}, y_k)) $$ Observe que estamos usando a mensurabilidade de $E_k:= f^{-1}[y_{k-1}, y_k)$ para escrever a soma acima. Observe que $$ \sum y_{k-1} m(E_k) \leq \sum f(c_k) m(E_k) \leq \sum y_k m(E_k) $$ e por definição as somas comparadas acima (somas inferior, soma por pontos de amostra, soma superior) estão entre $\alpha (b-a)$ e $\beta (b-a).$

A ideia de Lebesgue foi (vamos fazer as definições mais rigorosas):

Claramente precisamos definir funções mensuráveis.

Em particular ele concluiu

Demonstração:

• É fácil ver que adicionando pontos na partição (de contra-domínio) não aumenta a soma supeior e não diminui a soma inferior.
• Toda soma superior é maior de que qualquer soma inferior. Basta considerar a união de duas partições. Até aqui parecido com propriedades de soma de Riemann. Portanto o supremo de somas inferiores é menor ou igual ao ínfimo de somas superiores.
• Basta agora tomar uma partição $\alpha = y_0 < y_1 < \cdots < y_n=b$ tal que $y_n - y_{n-1} \leq \frac{\epsilon}{b-a}.$
• $\alpha (b-a) \leq \sum_{k=1}^{n} y_{k-1} m(E_k) \leq \sum_{k=1}^{n} y_{k} m(E_k) \leq \beta (b-a)$

Precisamos enfatizar que não precisamos que a função seja limitada para definir integral de Lebesgue. O resultado supracitado é apenas para mostrar o poder da integral de Lebesgue. Por exemplo a função de Dirichlet que não era Riemann integrável, é Lebesgue integrável.

Um resultado importante a ser destacado é:

Demonstração: Já mostramos que a mensurabilidade implica integrabilidade no caso de uma função limitada. Agora suponhamos $f$ ser integrável. Primeiro observem que existem partições $P_n$ de $[a, b]$ por conjuntos mensuráveis ($P_n$ é mais refinada que $P_{n-1}$) de tal forma que $$ \sum_{E \in P_n} (sup(f) - inf(f)) m(E_n) < 1/n. $$

Considere $\phi_n := inf f$, i.e $\phi_n |_{E} = inf f|_{E}, E \in P_n$ e defina similarmente $\psi_n = sup f$ em $P_n.$ Observe que $$ \phi_{n-1} \leq \phi_n \leq \psi_n \leq \psi_{n-1}. $$ Já que se tratam de funções monótonas, conclúimos que $\lim \phi_n, \lim_{\psi_n}$ existem e $\lim \phi_n \leq f \leq \lim \psi_n.$

Finalmente afirmamos que $\phi=\psi$ em quase todo ponto. Assim provamos que ambas são iguais a $f$ em quase todo ponto e portanto já que $\phi_n, \psi_n$ são mensuráveis, seu limite também é e portanto $f$ é mensurável (pois coincide q.t.p com uma função mensurável).

Para provar afrimação, seja $$ E = \{ x \in [a, b], \psi(x) - \phi(x) > 0\} =\bigcup_m \{ x \in [a, b], \psi(x) - \phi(x) > 1/m \} $$ $$ \subset \bigcup_m \{ x \in [a, b], \psi_n(x) - \phi_n(x) > 1/m \} $$ Porém já que $\int_{a}^{b} (\psi_n - \phi_n) < 1/n$ (integral de Lebesgue) temos

$$ \frac{1}{m} m(\{ x \in [a, b], \psi_n(x) - \phi_n(x) > 1/m \} ) < \frac{1}{n} $$

e consequentemente $$m(\{ x \in [a, b], \psi_n(x) - \phi_n(x) > 1/m \} ) < \frac{m}{n}.$$ Já que para todo $n$ temos a desigualdade acima, concluímos a demonstração.