fatou []

Teorema convergência monótona: $0 \leq f_n \leq f_{n+1} \leq \cdots$ uma sequência de funções não negativas extendidas mensuráveis, então $\lim_{n \rightarrow \infty} \int_X f_n d \mu = \int_X \lim_{n \rightarrow \infty} f_n d \mu$

Lema de Fatou: Sejam $f_n$ mensuráveis não negativas extendidas então $\liminf_{n \rightarrow \infty} \int_X f_n d \mu = \int_X \liminf_{n \rightarrow \infty} f_n d \mu$

Leia com cuidado: O lema de Fatou deve ser lembrado como um tipo de semi-continuidade inferior de operador de integral. Enquanto o teorema de convergência dominada é um resultado de continuidade.

Exercício: Mostre que se $\mu(X) < \infty$ e $f_n < K$ no lema de Fatou para um $K$ fixo, então $\int \limsup f_n d\mu \geq \limsup \int f_n d\mu.$

Teorema convergência dominada: Sejam $f_n: X \rightarrow \mathbb{R}$ mensuráveis e $|f_n| \leq G$ para uma função $G$ absolutamente integrável. Suponhamos que $f_n \rightarrow f$ q.t.p, então $\lim_{n \rightarrow \infty} \int_X f_n d \mu = \int_X f d \mu$

Fórumla de defeito no lema de Fatou:

Seja $(X, \mathcal{B}, \mu)$ um espaço com medida e $f_n : X \rightarrow [0, \infty]$ absolutamente integráveis e convergindo pontualmente a $f$ também absolutamente integrável. Então: $\int_X f_n d\mu - \int_X f d\mu - \|f - f_n\|_{L^1} \rightarrow 0.$

Toma $g_n = min(f, f_n)$ e portanto $g_n$ é limitada por $f$ que é absolutamente integrável e portanto podemos aplicar teorema convergência dominada, i.e

$\int_X g_n d\mu = \int_X f d\mu.$ Porém lembramos que $g_n = \frac{f+f_n - |f-f_n|}{2}$ e substituindo no limite acima concluímos o resultado desejado.

Versão reforçada de teorema convergência dominada: Sejam $g_n$ uma sequeância de funções integráveis convergindo q.t.p a função integrável $g$ e $f_n$ tais que $|f_n| \leq g_n$ . Então Se $\int g_n d\mu \rightarrow \int g d\mu$ temos que $\int f_n d \mu \rightarrow \int f d\mu.$

Versão falsa de convergência dominada (Mostre um contra-exemplo):

Sejam $f_n$ convergindo q.t.p a $f$ e $|f_n| \leq g_n$ e suponhamos que existe $M$ tal que $\int g_n d\mu < M$ então $\int f_n \rightarrow \int f d\mu$ .

Demonstração da verão reforçada: temo que $- g_n \leq f_n \leq g_n$ . Portanto $g_n + f_n \geq 0$ e temos que $(g_n + f_n) \rightarrow g+f$ e pelo Lema de Fatou temos $\int (f+g) d\mu \leq \liminf_{n \rightarrow \infty} (\int g d\mu + \int f_n d\mu) = \int g d\mu + \liminf_{n \rightarrow \infty} \int f_n d\mu.$ Observe que usamos o fato de que se $a_n \rightarrow a$ então $\liminf a_n + b_n = a + \liminf b_n.$ Aviso: Em geral $\liminf a_n + b_n = \liminf a_n + \liminf b_n$ não é verdade!

Cancelando $\int g d\mu$ da equação acima concluímos que $\int f d\mu \leq \liminf_{n \rightarrow \infty} \int f_n d\mu$

Agora usando funções $g_n - f_n \geq 0$ e novamente aplicando Lema de Fatou concluímos que

$\limsup_{n \rightarrow \infty} \int f_n d\mu \leq \int f d\mu$

e as duas desigualdades obtidas implicam o limite desejado no teorema.

Exercício: Mostre que se $f_n \leq f$ e $f_n \geq 0$ e $f_n \rightarrow f$ então $\lim \int f_n = \int f.$