Teorema convergência monótona: $0 \leq f_n \leq f_{n+1} \leq \cdots$ uma sequência de funções não negativas extendidas mensuráveis, então $$ \lim_{n \rightarrow \infty} \int_X f_n d \mu = \int_X \lim_{n \rightarrow \infty} f_n d \mu $$
Lema de Fatou: Sejam $f_n$ mensuráveis não negativas extendidas então $$ \liminf_{n \rightarrow \infty} \int_X f_n d \mu = \int_X \liminf_{n \rightarrow \infty} f_n d \mu $$
Leia com cuidado: O lema de Fatou deve ser lembrado como um tipo de semi-continuidade inferior de operador de integral. Enquanto o teorema de convergência dominada é um resultado de continuidade.
Exercício: Mostre que se $\mu(X) < \infty$ e $f_n < K$ no lema de Fatou para um $K$ fixo, então $$ \int \limsup f_n d\mu \geq \limsup \int f_n d\mu. $$
Teorema convergência dominada: Sejam $f_n: X \rightarrow \mathbb{R}$ mensuráveis e $|f_n| \leq G$ para uma função $G$ absolutamente integrável. Suponhamos que $f_n \rightarrow f$ q.t.p, então $$ \lim_{n \rightarrow \infty} \int_X f_n d \mu = \int_X f d \mu $$
Fórumla de defeito no lema de Fatou:
Seja $(X, \mathcal{B}, \mu)$ um espaço com medida e $f_n : X \rightarrow [0, \infty]$ absolutamente integráveis e convergindo pontualmente a $f$ também absolutamente integrável. Então: $$ \int_X f_n d\mu - \int_X f d\mu - \|f - f_n\|_{L^1} \rightarrow 0. $$
Toma $g_n = min(f, f_n)$ e portanto $g_n$ é limitada por $f$ que é absolutamente integrável e portanto podemos aplicar teorema convergência dominada, i.e
$$ \int_X g_n d\mu = \int_X f d\mu. $$ Porém lembramos que $g_n = \frac{f+f_n - |f-f_n|}{2}$ e substituindo no limite acima concluímos o resultado desejado.
Versão reforçada de teorema convergência dominada: Sejam $g_n$ uma sequeância de funções integráveis convergindo q.t.p a função integrável $g$ e $f_n$ tais que $|f_n| \leq g_n$. Então Se $$ \int g_n d\mu \rightarrow \int g d\mu$$ temos que $$ \int f_n d \mu \rightarrow \int f d\mu. $$
Versão falsa de convergência dominada (Mostre um contra-exemplo):
Sejam $f_n$ convergindo q.t.p a $f$ e $|f_n| \leq g_n$ e suponhamos que existe $M$ tal que $\int g_n d\mu < M$ então $\int f_n \rightarrow \int f d\mu$.
Demonstração da verão reforçada: temo que $ - g_n \leq f_n \leq g_n$. Portanto $g_n + f_n \geq 0$ e temos que $(g_n + f_n) \rightarrow g+f$ e pelo Lema de Fatou temos $$ \int (f+g) d\mu \leq \liminf_{n \rightarrow \infty} (\int g d\mu + \int f_n d\mu) = \int g d\mu + \liminf_{n \rightarrow \infty} \int f_n d\mu. $$ Observe que usamos o fato de que se $a_n \rightarrow a$ então $\liminf a_n + b_n = a + \liminf b_n.$ Aviso: Em geral $\liminf a_n + b_n = \liminf a_n + \liminf b_n$ não é verdade!
Cancelando $\int g d\mu$ da equação acima concluímos que $$ \int f d\mu \leq \liminf_{n \rightarrow \infty} \int f_n d\mu $$
Agora usando funções $ g_n - f_n \geq 0$ e novamente aplicando Lema de Fatou concluímos que
$$ \limsup_{n \rightarrow \infty} \int f_n d\mu \leq \int f d\mu $$
e as duas desigualdades obtidas implicam o limite desejado no teorema.
Exercício: Mostre que se $f_n \leq f$ e $f_n \geq 0$ e $f_n \rightarrow f$ então $\lim \int f_n = \int f.$