Seja $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ uma função. Então definimos envelopes superior e inferior de $f$. De fato definimos dois operadores que uma transforma cada função em uma função semi-contínua superior e outra que transforma em semi-contínua inferior.
Seja $f$ uma função qualquer e definimos envelope superior $\mathcal{S}(f)(x) = \inf_{\delta > 0} \sup_{|x-y| < \delta} f(y).$
Seja $f$ uma função qualquer e definimos envelope inferior $\mathcal{I}(f)(x) = \sup_{\delta > 0} \inf_{|x-y| < \delta} f(y).$
É um bom exercício, mostrar que se $f$ é limitada então o envelope superior (respectivamente inferior) é uma função semi-contínua superior (respectivamente inferior). Além disso, $f$ é semi-contínua superior (inferior) se coincide com seu envelope superior (inferior). em particular $f$ é contínua se somente se as envelopes coincidem.
As funções envelope sempre são Lebesgue mensuráveis, pois são semi-contínuas. Lembrem que para uma função semi-contínua superior, por definição $f^{-1}(-\infty, \lambda)$ é um conjunto aberto para qualquer $\lambda \in \mathbb{R}$.
Agora a relação mágica entre Riemann e Lebesgue:
Seja $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ uma função limitada. Então $$ R. \overline{\int_{a}^{b}} f dx = \int_{[a, b]} \mathcal{S}(f) dx. $$
Na equaçõa acima, $R. \overline{\int_{a}^{b}} f dx$ representa integral de Riemann superior da $f$, entquanto outro lado da igualdade é a integral de Lebesgue de seu envelope superior.
De uma forma similar $$ R. \underline{\int_{a}^{b}} f dx = \int_{[a, b]} \mathcal{I}(f) dx. $$
Assim, fica claro que as integrais superior e inferior de Riemann são integral de Lebesgue de envelopes da função. Portanto é fácil ver que a integral de Riemann existe e é igual a integral de Lebesgue se somente se os pontos de continuidade tem medida de Lebesgue nula.