O Teorema abaixo mostra que descartando um conjunto de medida pequena, uma função mensurável coincide com alguma função contínua. (Este é um dos princípios de Littlewood)
Definição: Uma função $h = \sum c_i 1_{E_i}, E_i \subset \mathbb{R}$ simples é dita de tipo escada se $E_i$ são intervalos.
Teorema: Seja $f: [a, b] \rightarrow [0, \infty]$ uma função Lebesgue mensurável tal que $\{f = \infty\}$ tenha medida nula, então para qualquer $\epsilon > 0$ existe uma função contínua $g:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ e $B \subset [a, b]$ com $m(B) \leq \epsilon$ tal que $$ |f(x) - g(x)| \leq \epsilon, \forall x \in [a, b]\setminus B $$
Observação: O contra-domínio da função não precisa ser números positivos. De fato, a demonstração abaixo (com pequena modificação) serve para caso em que $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R} \cup \{\infty\}.$
Demonstação: A ideia é definir um conjunto “ruim”, onde fora deste conjunto possamos aproximar a função por outra que é contínua. Fazemos isso, por passos, construindo diferentes conjuntos “ruins”.
Primeiramente definimos um primeiro conjunto “ruim”, $B_{\infty} = \{ f = \infty\}, m(B_{\infty})=0.$
Lema: existe uma função $h : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ simples tal que $|f(x) - h(x)| < \epsilon/3 $ para todo $x \notin B_1$ e $m(B_1) < \epsilon/3.$
Demonstração do lema: Para demonstrar o lema observe que $[a, b] \setminus B_{\infty} = \bigcup_{n \geq 0} f^{-1} ([n, n+1)) $ é uma união disjuntas. Então $$\sum_{n=0}^{\infty} m(f^{-1} ([n, n+1))) < \infty$$ que por sua vez (a convergência da serie) implica que existe $n_0$ tal que $m(\bigcup_{n \geq n_0} f^{-1} ([n, n+1))) < \epsilon/3.$ Agora particiona o intervalo $[0, n_0]$ em intervalinhos $E_i = [l_i, l_{i+1})$ de diametro $\epsilon$, i.e, $E_1, E_2,\cdots , E_k$ ($k = n_0/\epsilon$!). Definimos $F_i:= f^{-1} (E_i)$. Observe que $B_1 := B_{\infty} \cup m(\bigcup_{n \geq n_0} f^{-1} ([n, n+1)))$ e $m(B_1) \leq \epsilon/3.$
Precisamos de seguinte lema geral para aproximar os conjuntos mensuráveis $F_i$ por $U_i$ união de intervalos:
Lema: Seja $F \subset [a, b]$ um conjunto mensurável, então para qualquer $\delta> 0$ existe $U$ uma união finita de intervalos abertos tal que $m(U \Delta F) \leq \delta.$
Agora para cada $F_i, i=1, \cdots, k$ vamos aplicar o lema acima. Já que $F_i$ são disjuntos, vamos escolher $U_i$ satisfazendo lema acima com $\delta = \frac{\epsilon}{3k}$. Além disso, é possível escolher os abertos $U_i$ tais que $U_i \cap U_j = \emptyset.$ Porquê? Em particular temos também que $m( (\cup F_i) \Delta (\cup U_i)) \leq \epsilon/3$
Definimos a função escada $h$ na união de $U_i$ como $h|_{\cup U_i} := \sum l_i 1_{U_i}$ e fora desta união podemos definir constante (que não vai importar). Observe que se $x \in (U_i \cap F_i) $ então $|f(x) - h(x)| \leq \epsilon.$ De fato $h(x)= l_i$ e $f(x) \in [l_i, l_{i+1})$. $h$ é uma função escada.
Definimos agora um conjuto ruim um pouco maior: $B_2 = B_1 \cup \bigcup_{i} (F_i \Delta U_i)$ e pelas observações até agora temos que $m(B_2) \leq \epsilon/3 + \epsilon/3.$ Além disto $|f(x)- h(x)| \leq \epsilon$ para todo $x \in [a, b] \setminus B_2$.
Finalmente modificamos $h$ num conjunto $B_3$ de medida $\epsilon/3$ em torno de fronteira dos pontos de descontinuidade de $h$ para obter uma função contínua $g$ que de fato coincide com $h$ no conjunto $[a, b] \setminus B_3$.
Finalmente defina $B = B_2 \cup B_3$, $m(B) \leq \epsilon/3 + 2\epsilon/3 = \epsilon$ e $|g(x) - f(x)| \leq \epsilon$ para todo $x \in [a, b] \setminus B.$
Teorema de Egorov em dimensão um: sejam $f_n$ uma sequência de funções mensuráveis com domínio $E, m(E) < \infty$ e que convergem q.t.p a uma função real $f$. Dado $\delta > 0$ qualquer existe $A \subset E$ com $m(A) < \delta$ e $f_n$ converge uniformemente a $f$ em $E \setminus A.$
Uma versão mais geral de Egorov:
Seja $f_n : X \rightarrow Y$ uma sequência de funções mensuráveis de um espaço com medida finita a um espaço métrico. Então dado $\epsilon >0$ exsite $A, m(A) \leq \epsilon$ tal que $f_n$ converge uniformemente fora do conjunto $A.$
Demonstração; Seja $C_{i,j} := \cup_{k \geq j} \{x \in X: d(f_k(x), g(x)) > 2^{-i} \}$. Portanto $C_{i, j+1} \subset C_{i, j}.$ Já que $\mu(X) < \infty$ temos que $\lim_{j \rightarrow \infty} \mu(C_{i, j}) = 0.$ Então para cada $i$ existe $N(i)$ tal que $\mu(C_{i, N(i)}) < \epsilon/2^i.$ Agora observe que no complementar de $\cup_i C_{i, N(i)}$ a convergência é uniforme e este conjunto tem medida menor do que $\epsilon.$
Usando Teorema de Egorov é possível provar seguinte versão do teorema de Lusin:
Seja $f$ uma função real mensurável definida em $[a, b].$ Dado $\delta > 0$ existe uma função contínua $g$ e definida em $[a, b]$ tal que $m(\{x \in [a, b] : f(x) \neq g(x)\}) \leq \delta.$
Uma versão mais geral do Teorema de Lusin:
Seja $f$ uma função mensurável de um espaço métrico completo separável com uma medida finita $(X, \mathcal{B}, \mu)$ a um outro espaço métrico separável. Então dado $\delta > 0$ existe um conjunto compacto $A$ tal que $\mu(A) \leq \delta$ e a restrição de $f$ em $A^c$ é contínua.
Na versão geral do teorema de Lusin, se o contra-domínio for $\mathbb{R}^n$ ou um espaço que a extensão de Tietze vale, podemos formular o teorema assim: Fora de um conjunto de medida menor do que $\delta$ a função $f$ coincide com uma função contínua.