Dada uma função diferenciável  $ f $ e ponto $ a $ no interior do seu domínio, a aproximação linear da $ f $ em torno de $ a $ é uma função linear $ L $ tal que

$ f(a)=L(a) $ e

$ f^{'}(a)= L^{'}(a). $

A partir de agora denotamos por $ f^{(n)} $ a derivada de órdem $ n $ da função $ f. $ Lembrando que $ f^{'} $ é a derivada de ordem 1.

Polinômio de Taylor de grau $ k $:

Seja $ f: I \rightarrow \mathbb{R} $ uma função $ k $ vezes diferenciável em $ a \in I. $  Então existe um e apenas uma função polinômial de grau $ k $ denotado por $ p_k $ tal que

$ p(a)=f(a), p^{'}(a)=f^{'}(a), \cdots p^{(k)}(a)=f^{(k)}(a). $

Demonstração: (é um exercício) A dica para mostrar existência de tal polinômio é escrever $ p(x)= a_0 + a_1 (x-a) + a_2(x-a)^2 + \cdots + a_k(x-a)^k $

Assim, podemos concluir que

$ a_0 = f(a), a_1 = f^{'}(a), a_2 = \frac{1}{2!} f^{''}(a), \cdots, a_k = \frac{1}{k!} f^{(k)}(a). $

Por coincidência de valores de $ f^{(i)}(a) $ e $ p^{(i)}(a) $, vamos concluir que a função polinomial $ p $ é uma aproximação “bem forte” (de órdem $ k $) de $ f $ perto de $ a. $

Mais rigorosamente:

Teorema: Se $ p $ é o polinômio Taylor de grau $ k $ no ponto $ x=a $ então

$ \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-p(x)}{(x-a)^k} =0. $

Agora podemos entender o que queríamos dizer com aproximação forte: perto do ponto $ a $ o erro de aproximação de $ f(x) $ por $ p(x) $ é dominado por $ (x-a)^k. $ Na medida em que escolhemos k maior, teremos um polinômio que melhor aproxima a função.

Demonstração (usando L'hopital assumindo que $ f $ é $ k  $ vezes diferenciável com derivada contínua num intervalo em torno de $ a  $):

$ (f(x)-p(x))^{(k)}= f^{(k)}(x)-p^{(k)}(x) $ e a derivada de órdem $ k $ da função $ (x-a)^k $ é $ k! $

Portanto $ \lim_{x \rightarrow a} \frac{(f(x)-p(x))^{(k)}}{((x-a)^k)^{(k)}} = \lim_{x \rightarrow a} \frac{f^{(k)}(x) - p^{(k)}(x)}{k!} = \lim_{x \rightarrow a} \frac{f^{(k)}(a)-p^{(k)}(a)}{k!} =0. $

Exemplo:

Vamos achar polinômios de Taylor da função $ sen $ no ponto $ x=0. $ Assim podemos achar um método de calcular aproximadamente valores de $ sen(x) $ que para $ x $ perto de zero funcione muito bem.

$ sen(0)=0  $

$ sen^{'}(0)=cos(0)=1  $

$ sen^{''}(0)=-sen(0)=0  $

$ sen^{'''}(0)=-cos(0)=-1  $

e a partir da quarta derivada repetimos os mesmos números.

Então os polinômios até quinto grau são os seguintes:

$ P_1 (x) = P_2(x) =  x  $

$ P_3(x)=P_4(x) = x - \frac{x^3}{3!}  $

$ P_5(x)= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}.  $