Suponhamos que $ f  $ seja diferenciável no ponto $ a $ e portanto teremos três possibilidades:

1. $ f^{'}(a) > 0 $
2. $ f^{'}(a) < 0 $
3. $ f^{'}(a)=0. $

Vamos mostrar que se ocorrer (1) então existe número $ \delta> 0 $ tal que se $ a < x < a+ \delta $ então $ f(x)> f(a) $  e se $ a-\delta < x < a $ então $ f(x)< f(a). $

Demonstração: Já que $ f^{'}(a) > 0 $ então existe $ \epsilon > 0, f^{'}(a) > \epsilon. $ Pela definição da derivada existe $ \delta > 0 $ tal que para todo $ 0 < |x-a| < \delta $ temos $ -\epsilon/2 < \frac{f(x)-f(a)}{x-a} - f^{'}(a) < \epsilon/2 $ portanto $\frac{f(x)-f(a)}{x-a} > \epsilon/2 > 0 $.

Da desigualdade acima concluímos que o sinal de $ f(x)-f(a)  $ coincide com o sinal de $ x-a $ no conjunto $ 0 < |x-a| < \delta. $ Assim demonstramos o que afirmamos.

De uma forma similar podemos mostrar que no caso (2) teremos $ \delta > 0  $

tal que se $ a < x < a+ \delta $ então $ f(x) < f(a) $  e se $ a-\delta < x < a $ então $ f(x) > f(a). $

Corolário: Um ponto $ a $ é chamado ponto máximo local (resp. mínimo local) da função $ f $ se existir $ \delta >0 $ tal que para todo $ x \in [a - \delta, a+\delta] $ temos $ f(x) \leq f(a). $ (resp. $ f(x) \geq f(a). $)

O corolário da discussão sobre sinal da derivada é que se um ponto $ a $ for máximo ou mínimo local de uma função diferenciável nest eponto então $ f^{'}(a)=0. $

Considere a função  $ f(x)=x^4-x^3. $ Essa função é diferenciável em todo $ \mathbb{R} $. Vamos analisar o sinal da derivada:

$f^{'}(x)= 4x^3 - 3x^2 = x^2(4x-3).$

Portano para todo $ x < \frac{3}{4} $ temos $ f^{'}(x) < 0 $ e para $ x > \frac{3}{4}, f^{'}(x) > 0 $ e em dois pontos $ x=0, \frac{3}{4} $ a derivada se anula.

Vamos analisar o ponto $ x=0. $ Nest eponto a derivada é zero. Entretanto, $ f(x) > 0 $ para $ x < 0 $ e $ f(x) < 0 $ para $ 0 < x < 1 $ que mostra que $ x=0 $ não nem máximo nem mínimo local!

Observe que anteriormente provamos que se $ x=a $ for um máximo ou mínimo local e a função for diferenciável no ponto $ a $ então $ f^{'}(a)=0 $ e o exemplo mostra que a recíproca não é verdade.

Agora analisarmos a função no intervalo $ [0,1]. $ Sabemos que $ f $ é contínua e portanto pelo teorema de Weierestrass admite pelo menos um ponto mínimo. Dado que neste intervalo $ f(x)\leq 0 $ e apenas nos pontos $ x=0, 1 $ a função se anula, concluímos que o mínimo ocorre num ponto no interior do intervalo $ [0,1]. $ Já que $ x=\frac{3}{4} $ é o único ponto neste intervalo onde $ f^{'}(x)=0 $ então é o ponto mínimo local da função.

Pode já imaginar como deve ser o gráfico da função? Veja a seguir o gráfico:

Exemplo:  Considere a função $ f(x)= x - sen(x) $. Verificamos que $ f^{'}(a)=0 $ para qualquer número $ a=2k\pi, k \in \mathbb{Z} $, porém nestes pontos a função não tem máximo, nem mínimo local.

Teorema: Seja $ f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R} $ contínua e diferenciável em todos os pontos do interior, i.e $ (a, b).  $ Suponhamos que $ f(a)=f(b)=0. $ Então existe $ c \in (a,b) $ tal que $ f^{'}(c)=0. $

Demonstração: Se para todo $ x \in [a,b] $ termos $ f(x)=0 $ logo concluímos que a função é constante e portanto sua derivada em todos os pontos do interior é zero.

Se isto não ocorrer, vai existir algum $ x_0 \in (a,b), f(x) \neq 0 $. Vamos assumir que $ f(x_0)>0. $ Agora pelo teorema de Weierestrass a função contínua tem algum ponto (digamos o ponto $ c $) máximo no intervalo fechado $ [a,b]. $ Já que $ f(x_0) >0 $ então $ f(c) > 0 $ também e portanto este ponto máximo não pode ser nenhum dos pontos $ a, b. $ Agora, pelo corolário fantástico (veja acima)  concluímos que $ f^{'}(c)=0. $

Uma ligeira generalização deste resultado é o teorema de Valor médio:

Teorema: Seja $ f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R} $ contínua e diferenciável em todos os pontos do interior, i.e $ (a, b).  $  Então existe $ c \in (a,b) $ tal que $ f^{'}(c)= \frac{f(b)-f(a)}{b-a}. $

Em termos físicos, num intervalo de tempo $ [a,b] $ existe um momento que a velocidade instantânea coincide com a velocidade média (estamos assumindo as mesmas hipoteses do teorema também).

Este resultado pode ser usado para estimar crescimento de uma função:

Suponhamos que $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ contínua e diferenciável em todos os pontos do interior do intervalo. Se existir $M \geq 0$ tal que para todo $x \in (a, b), |f^{'}(x)| \leq M$ então $$ |f(b) - f(a)| \leq M |b-a|. $$ Ou em utras palavras $\Delta y \leq M \Delta x$.

Exemplo: Para todo $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ mostre que $|sen(\alpha) - sen(\beta)| \leq |\alpha - \beta|.$

Basta considerar $f(x)=sen(x)$ e lembrar que $f^{'}(x)=cos(x)$ e que $|f^{'}(x)| \leq 1$ e aplicar resultado acima.

Exemplo: Para quaisquer $a, b > 0$ mostre que $$ |\frac{1}{1+a} - \frac{1}{1+b}| \leq |a-b|. $$

Basta considerar $f(x) = \frac{1}{1+x}$ no intervalo $(-1, \infty).$ Observe que $f^{'}(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$ e para $x > 0$ podemos ver que $|f^{'}(x)| < 1.$