Temos um vaso com formato em figura abaixo. Vamos encher o vaso com água com saindo de uma torneira com velocidade constante.  Qual será o esboço do gráfico da altura da água em função do tempo? Discutiremos, que o gráfico deve ser similar ao gráfico do lado da figura do vaso.

Claro que a função $ t \rightarrow h(t) $ é crescente e precisamos prestar atenção nas alturas importantes $ a, b, c $ onde o formato do vaso tem alterações geométrica “considerável”.  Vamos supor que $ h $ é uma função diferenciável, portanto $ h^{'}(t) > 0. $ Vamos analisar a segunda derivada da função. Se num intervalo de tempo, a taxa de crescimento de $ h $  for crescente (descrescente), então a segunda derivada é positiva (negativa) e função é convexa (côncava).

No intervalo $ 0 \leq h \leq a $ a largura do vaso está crescendo e portanto a taxa de crescimento da altura deve ser decrescente. Neste intervalo a segunda derivada é negativa. Argumentando de forma similar em outros intervalos podemos concluir que o gráfico da função deve ser similar a figura acima.  Observe que também $ t_a > t_c - t_b $. Porquê?

Suponhamos que o consumo de gasolina (litro/hora) de um carro seja função de velocidade e dado pela fórmula $ c(v) = \frac{1}{400} (v - 50)^2 + 5. $

Qual é a velocidade com melhor rendimento litro de consumo por kilometro rodado?

Observe que neste problema vamos minimizar a função $ v \rightarrow q(v) $ onde $ q(v) $ é o consumo por kilometro de gasolina na velocidade dada $ v. $ Podemos verificar que

$ q(v) = \frac{P(v)}{v}. $ Porquê?

De fato se olharmos para o gráfico da função $ p $ para minimizar função $ q $ vamos procurar a abcissa do ponto no gráfico da função $ p $ tal que a reta passando por este ponto e a orígem tenha menor inclinação possível.

$ \frac{dq}{dv} = \frac{\frac{dp}{dv}.v - p}{v^2} = \frac{\frac{1}{200}v^2 - \frac{1}{4}v - \frac{1}{400}(v-50)^2 -5}{v^2} $

e para achar mínimo, vamos resolver $ \frac{dq}{dv}=0 $ e assim temos:

$ \frac{1}{400}v^2 - \frac{45}{4}=0 $ e $ v \sim 67. $

Observe que o mínimo da função $ p $ é obtido na velocidade $ v=50. $

Mostrem que o produto de dois números reais e positivos ( $ > 0 $) cuja soma é constante terá o valor máximo quando eles são iguais.

A soma de dois números constante: $ x+y=c $ então $ y=c-x $

Agora o produto deles $ P = x(c-x)=cx -x^2. $ Podemos considerar $ P $ como função de $ x. $ Assim para achar o máximo

calculamos a derivada $ P^{'}(x)=c-2x $ e portanto $ x=c/2 $ é um ponto crítico. Usando teste da segunda derivada podemos verificar que se trata de um ponto máximo.

Observação: Neste problema $ 0 < x < c.  $ O ponto crítico $ x = \frac{c}{2} $ é aceitável. Porém em geral quando achamos máximo local através de ponto crítico de uma função devemos comparar o valor da função com valor nos pontos extremais do domínio da função (aqui $ (0, c). $)

É simples ver que $ P(0)=P(c)=0 < P(\frac{c}{2}). $

Mostre que dados números reais $ a_1, a_2 \cdots , a_n $ então o menor valor de $ \sum_{i=1}{n} (x-a_i)^2 $ é obtido quando $ x = \frac{a_1+a_2+ \cdots + a_n}{n}. $

Para um raio de luz monocromática passando de um meio para o outro, é constante o produto do seno do ângulo, formado pelo raio e pela normal, com o índice de refração em que se encontra esse raio.  :

$ {\displaystyle n_{1}\cdot \sin \theta _{1}=n_{2}\cdot \sin \theta _{2}} $

onde $ n_1, n_2 $ são índices de refração nos respectivos ambientes. ou de forma equivalente (uma vez que $ n_i = \frac{c}{c_i} $ sendo $ c $ velocidade da Luz no vácuo.)

$ \frac{sen(\theta_1)}{sen(\theta_2)} = \frac{c_1}{c_2} $ onde $ c_i, i=1,2 $ são as velocidades de Luz nos meios (1) e (2).

Para resolver este problema, vamos escrever o tempo necessário para a luz chegar do ponto A ao ponto B em termos de $ x $ (mostrado na figura: distância entre projeção ortogonal do ponto A sobre divisor dos ambientes e o ponto que o raio de luz cruza o divisor dos ambientes.)

$ T(x) = t_1 + t_2 $ onde $ t_1 = \frac{\sqrt{x^2 + h_1^2}}{c_1} $ e $ t_2 = \frac{\sqrt{(d-x)^2 + h_2^2}}{c_2} $

onde $ h_1, h_2 $ são as distâncias de $ A, B $ até o divisor dos ambientes e $ d $ é a distância de suas projeções sobre divisor dos ambientes.

$ T^{'}(x)= \frac{x}{c_1 \sqrt{x^2 + h_1^2}} - \frac{d-x}{c_2 \sqrt{(d-x)^2 + h_2^2}} $

Manipulando a equação $ T^{'}(x)=0 $ e usando trigonometria básica obtemos o resultado desejado.