De fato o estudo de limite de funções foi motivado por outro tema que é a DERIVADA de uma função. Suponhamos que um objeto está em queda livre. Não é difícil acreditar que a “velocidade” deste objeto varia ao longo do tempo. Logo surge a noção de velocidade instantânea.

Suponhamos que um objeto está na posição $ d_0 $ no momento $ t_0. $ Se a posição dele no momento $ t_1 > t_0 $ for $ d_1 $, então definimos sua velocidade média neste intervalo de tempo como

$ \frac{d_1- d_0}{t_1 - t_0}. $

Desde os tempo de Galileo, o celaculo de velocidades foi um problema intrigante. Apenas com descoberta do cálculo diferencial pelo Newton e Leibniz tivemos respostas rigorosas a pergunta de velocidade instantânea.

Seja $ d : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ denotar a posição de uma partícula no momento $ t $ na reta de números reais (para facilitar vamos assumir que $ D(d) = \mathbb{R} $). Definimos a velocidade instantânea no momento $ t \in \mathbb{R} $ como o limite das velocidades médias entre os tempos $ t $ e $ s $ quando $ s $ convergir a $ t. $ Ou seja,

$ \lim_{s \rightarrow t} \frac{d(s) -d(t)}{s-t}. $

Pronto! estamos com um problema de cálculo de limite de funções. Fixamos $ t $, Podemos definir uma função

$ g(s) :=  \frac{d(s)-d(t)}{s-t} $,

e a velocidade instantânea será igual a $ \lim_{s \rightarrow t} g(s). $

Lembrem (na definição do limite) que para definir limite acima, não precisamos que a função $ g $ esteja definida no ponto $ t $.

Exemplo 0: Calcule $ \lim_{x \rightarrow 1} f(x) $ onde $ f(x) = x-1. $

Neste casos, podemos advinhar logo o limite:

$ \lim_{x \rightarrow 1} (x-1) = 0. $

Podemos demonstrar usando quantificadores: Para todo $ \epsilon > 0$ existe $ \delta > 0 $ tal que se $ 0 < |x-1|\leq \delta $ então $ |f(x)- 0| \leq \epsilon. $

Ora, $ |f(x) - 0| = |x-1| $. Portanto basta escolher $ \delta = \epsilon $ para garantir a desigualdade desejada.

Se queremos que $ |f(x) - 0| \leq 0.09 $ basta que $ |x-1| \leq 0.09 $.

Vamos agora a um exemplo não trivial:

Exemplo 1: Calcule $ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{sen(x)}{x}. $

Este limite é um dis limites fundamentais que vamos usar bastante no futuro. Porém neste momento precisamos refletir bem para perceber que “não é fácil” de advinhar! Para começar a função nem está definida no ponto $ x =0. $ Observe também que não podemos usar ferramentas como última proposição da aula anteior:

o limite do denominador da função $ \frac{sen(x)}{x} $ quando $ x \rightarrow 0 $ é igual a um!

Bom, o numerador também tem limite igual a zero queando $ x $ tende a zero.

Exatamente aqui reside a beleza do cálculo, pois precisamos achar para que ponto a divisão de dois números que estão ficando muito próximo a zero, vai convergir, se é que converge!

Vamos colocar a mão na massa: Para $ x \neq 0, |x| < \pi/2 $

$ sen(x) < x < tan(x) $ ,   se $ x > 0 $ (pense! Compare áreas de triângulos e setor do círuclo com ângulo $x$ na figura abaixo para concluir essa desigualdade.)  e

$ tan(x) < x < sen(x) $,   se $ x < 0. $ (veja a figura abaixo)

Portanto se $ x\neq 0 $ teremos

$ 1 < \frac{x}{sen(x)} < \frac{1}{cos(x)}. $

Pois bem. Na aula anterior, verificamos que  $ cos(x) $ é uma função contínua de $ x $ e portanto $ \lim_{x \rightarrow 0} cos(x) = cos(0) = 1 $. Então, $ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{cos(x)} = 1. $

Já que o valor da função $ \frac{x}{sen(x)}$ para todo $ x $ (próximo a zero, aliás $ |x| < \pi/2 $ ) está entre duas funções (função constante 1 e $ \frac{1}{cos(x)} $) cujos limites quando $ x \rightarrow 0 $ coincidem e é igual a um, concluímos que

$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{sen(x)} = 1. $ (peraí, como??? veja abaixo!)

Portanto agora usando a última proposição da aula anterior, concluímos que

$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{sen(x)}{x} = 1. $

No cálculo do limite acima, usamos um fato simples que tem um nome “gostoso”:

Exemplo 2: Calcule o limite abaixo:

$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-cos(x)}{x} $.

Observe que quando $ x $ tende a zero, o numerador da fração acima, $ 1-cos(x) $ converge a $ 1 - cos(0) = 0 $. Portanto falando de uma forma informal, para calcular este limite precisamos entender o comportamento de divisão de uma quantidade por outra, enquanto ambas convergem ao zero.

Vamos adiantar um segredo indecente mais correto: neste exemplo, o numerador converge ao zero de uma forma mais forte que o denominador! Vamos ver o que isto quer dizer matemáticamente:

Uma igualdade trigonométrica importante: 

Usando a igualdade acima temos: $ \frac{1-cos(x)}{x} = \frac{2 sen^2(\frac{x}{2})}{x}  = (sen(\frac{x}{2})) \frac{sen(\frac{x}{2})}{\frac{x}{2}} .$

Toda manobra que fizemos, é para escrever a fração inicial como produto de duas funções e usar o item (2) da proposição (propriedades básicas).

  $ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{sen(x/2)}{x/2} = 1 $. Observe que já temos mostrado que $\lim_{x \rightarrow 0}\frac{sen(x)}{x} = 0$ portanto trocando $x$ por $x/2$ ainda o limite é um.

$ \lim_{x \rightarrow 0} sen(\frac{x}{2}) = 0 $. Pois a função seno é contínua em zero.

Sendo assim,

$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-cos(x)}{x} = 0 \times 1 = 0  .$

No processo de cálculo do limite acima, fizemos algumas operações algébricas, massageando a função, para poder desvendar aonde ela converge quando a variável $ x$ tende ao zero.

De fato como sugerido por um aluno do ICMC observe que este tipo de erro pode te levar a lugares obscuros! Veja por exemplo $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}$ porém usando o “argumento errado” acima teriamos $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-cos(x)}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^2} = 0.$ ***

Exemplo 3: Verifique a existência de $ \lim_{x \rightarrow} sen(\frac{1}{x}). $

Observe que $ D(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\} $ e portanto $ x=0 $ é um ponto limite do domínio da função. Portanto faz sentido perguntar sobre limite acima. Porém vamos ver que o limite não existe!

Um olhar intuitivo: Vamos olhar o gráfico desta função:

Bem, quando $ x \rightarrow 0$ a função oscila muito! “A função não decide para qual valor convergir quando a variável $ x $ tende ao zero.”

Vamos ver isto analiticamente: Suponhamos que exista algum limite $ L $. Portanto para toda sequência $ a_n \neq 0 $ e que $ a_n \rightarrow 0 $ temos que ter

$ \lim_{n \rightarrow} sen(\frac{1}{a_n}) = L. $

Agora, se escolhermos $ a_n = \frac{1}{n \pi } $ concluímos que $ L=0. $

Por outro lado se escolhermos $ a_n = \frac{1}{n \pi + \frac{\pi}{2}} $ obteremos que $ L = 1. $

Ora, mas pela definição se o limite existir, deve ser único número!