Antes de estudar esta pagina, você tem que estudar bem limites de sequências. Uma sequência numérica $ a_n$ pode ser considerada como uma função $ a : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ onde $ a(n) = a_n.$ Domínio desta função é $ \mathbb{N}.$

Quando falamos que $ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a_*$ significa que o valor da função a, fica cada vez mais próximo ao número $ a_*$ na medida que escolhemos n no domínio da função, maior e maior.

Agora vamos estudar a noção de limite para outras funções com domínios diferentes. A noção de limite foi o resultado de esforços de aproximadamente 2 séculos para poder definir a noção de derivada que serve para definir precisamente a taxa de variação de uma quantidade contínua.

Intervalo furado: com um intervalo furado de raio $ \delta$ em torno de a, referimos um conjunto como a seguir:

$ \{ x: a -\delta_1 < x < a\} = \{ x: x-\delta < x < a\} \cup \{x: a < x < a+\delta\}$

Consideramos um sub-conjunto $ S \subset \mathbb{R}$. Dizemos que um ponto $ a \in \mathbb{R}$ é um ponto limite do conjunto S, se para todo número $ \delta > 0$ o intervalo furado de raio $ \delta$ em torno de $ a$ contem pelo menos um ponto de S.

Pela definição podemos concluir que se $ a$ é um ponto de acumulação do conjunto $ S$, então em qualquer intervalo furado em torno de $ a$, existem infinitos pontos do conjunto S.

De fato podemos provar: Se $ a$ é um ponto de acumulação de $ S$, então existe uma sequência $ a_n, a_n \in S$ tal que $ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a.$ Reciproca também vale: Se existe uma sequência dos pontos de $ S$ cujo limite é igual a $ a$ então $ a$ é um ponto de acumulação de $ S$.

Seja $ S = (1, 2]$. Então podemos ver que todo o intervalo [1,2] são os pontos de acumulação de S.

Considere $ S= \{\frac{1}{n} : n =1,2,3,\cdots \}$. Então $ a=0$ é o único ponto de acumulação de S.

Dica: O ponto a=0 é um ponto de acumulação, pois qualquer intervalo furado em torno dele de raio $ \delta$ contem algum ponto de S. Basta escolher $ \frac{1}{n} < \delta$. Nenhum dos elementos $ 1/n$ pode ser ponto de acumulação, pois o intervalo furado de raio $ 1/n - 1/(n+1)$ não contem nenhum elemento do S.

Se $ a$ for um ponto entre elementos do S, por exemplo $ 1/(n+1) < a < 1/n $ basta escolhermos intervalo furado em torno de $ a$ e raio $ min \{ \frac{1}{n} -a, a - \frac{1}{n+1}\}.$ Este intervalo furado não contém nenhum ponto de S.

Verifiquem outros casos, para convencer que o conjunto S tem apenas um ponto de acumulação.

Seja $ S$ um subconjunto de números reais e $ a$ um ponto de acumulação de $ S$ e $ f : S \rightarrow \mathbb{R}$ uma função. Dizemos que o limite da função quando $ x$ tende ao $ a$ é igual a $ L$ e escrevemos

$ \lim_{x \rightarrow a} f(x) = L$

se para todo $ \epsilon > 0$ existe $ \delta > 0$ que se $ x \in S$ e $ 0< |x-a| < \delta$ então $ |f(x) - L| < \epsilon.$

compare a definição acima com a estabilidade de computação dos valores de funções. Apenas precisamos ressaltar que nesta definição não estamos exigindo que $ a \in S$. O ponto $ a$ pode não estar no domínio da função.

Semelhança e diferença entre limite e continuidade:

quando definimos a continuidade de uma função num ponto $ x=a$, o ponto deve pertencer ao domínio da função, enquanto para calcular limite da função no ponto $ a$ basta que o ponto pertença aos pontos de acumulação do domínio da função.

Vamos agora definir a continuidade de uma função em termos de limite.

A proposição acima decorre das definições de limite e continuidade.

Usando proposição acima, podemos concluir seguinte proposição, usando um resultado similar no caso das sequências.

Seja $ S \subset \mathbb{R}$ e $ a$ um ponto de acumulação de $ S$ e $ f, g : S \rightarrow \mathbb{R}$ duas funções tais que

$ \lim_{x \rightarrow a} f(x) = L $ e $ \lim_{x \rightarrow a} g(x) = K$

então:

1. limite de $ f+g$ quando $ x$ tende ao ponto $ a$ existe e é igual a $ L+K.$

2. $ \lim_{x \rightarrow a} fg (x) = KL$

3. Se $ K \neq 0$ e $ a$ é um ponto de acumulação do conjunto $ \{x \in S: g(x) \neq 0\}$, então $ \lim_{x \rightarrow a} f/g (x) = L/K $