Leibniz introduziu uma notação para representar a derivada de uma função que tem dupla aplicação: Primeiramente é uma fração que lembra a noção de limite na definição de derivada e por outro lado aparece com frequência como um facilitador nas contas que utilizam regra de cadeia.

Seja $ f: S \rightarrow \mathbb{R} $ uma função e vamos escrever $ y =f(x). $ Isto significa que $ x $ é uma variável em $ S $ enquanto $ y $ é variável (que depende do $ x $) dentro da imagem da função $ f. $

Pois bem, se $ a $ for um ponto no interior de $ S $ lembramos a definição da derivada (se existir) no ponto $ a $.

$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} $

Se denotarmos por $ \Delta y, \Delta x $ respectivamente o numerador e denominador a fração que define a derivada, a derivada no ponto $ a $ é igual

$ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}. $

A notação introduzida pelo Leibniz para derivada é:

$ \frac{dy}{dx}(a), \frac{dy}{dx}|_{x=a}$ ou $ \frac{dy(f(a))}{dx(a)} $

Podemos ler: a derivada da $ y $ com respeito da variável $ x $ no ponto $ x=a. $

Podemos “fingir” que $ \frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}. $

Sendo assim nasceram duas “criaturas” $ dx, dy $ que apenas fazem sentido como ferramentas baseadas no rigor do “jogo do” cálculo.

Vamos dar um exemplo sério onde podemos usar essas notações:

Se olharmos a regra de cadeia com olhar das notações de Leibniz: Seja $ y=f(x), b=f(a) $ e $ z=g(y) $, então $ z=(g\circ f)(x) $ e portanto a regra de cadeia pode ser escrita:

(1) $ \frac{dz(g(b))}{dx(a)} = \frac{dz(g(b))}{dy(b)}. \frac{dy(b)}{dx(a)} $

ou

(2) $ \frac{dz}{dx}(a) = \frac{dz}{dy}(f(a)). \frac{dy}{dx} (a) $

e se quisermos relaxar ainda mais vamos escrever:

(3) $ \frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy} \frac{dy}{dx}. $

A igualdade acima faz todo o sentido, apesar de que cada termo tipo $ dz, dy, dx $ “não faz sentido individualmente”.

Atenção

A igualdade acima tem que ser compreendida bem. pois o uso “bobo” dela pode criar problemas. Precisamos lembrar que cada derivada é calculada em qual ponto e para isto precisamos entender bem o enunciado da regra de cadeia.

Será que com estes jeitos de escrever, olhando para equação (1) e cancelando $ dy(b) $ de um numerador e denominador não demonstraríamos a regra de cadeia???

Não, a rigor! Por exemplo, como podemos cancelar um termo se não sabermos se é zero ou não.

Derivadas de órdem superior:

Se a derivada de uma função $ f $ for diferenciável a segunda derivada $ f^{''} $ é denotada por derivada da derivada da $ f $. Se $ f^{''} $ for diferenciável a terceira derivada também faz sentido,….

Denotamos por $ f^{(n)}(a) $ a derivada de órdem $ n $ da função $ f $ no ponto $ a. $ Em notações de Leibniz escrevemos $ \frac{d^n f}{dx^n}(a). $

Exercício

Considere $ f(x)=\frac{1}{x} $. Calcule a $ n $ésima derivada da $ f. $

Derivada de função inversa:

Um corolário da regra de cadeia é calcular a derivada da inversa de uma função diferenciável.

Teorema: Suponhamos $ f: I \rightarrow \mathbb{R} $ diferenciável em todos os pontos do interior do intervalo $ I $ e sua derivada em todos os pontos tem o mesmo sinal (e nunca zero). Então $ f^{-1} $ é diferenciável em todos os pontos interior de seu domínio e para todo tal ponto, $ b= f(a) $ temos

$ (f^{-1})^{'}(b) = \frac{1}{f^{'}(a)}. $

DEmonstração: Se assumirmos a diferenciabilidade da $ f^{-1} $ usando regra de cadeia podemos obter a fórmula da derivada da $ f^{-1} $:

Basta derivar dos dois lados da seguinte equação:

$ (f^{-1} \circ f)(x)=x $.

Usando regra de cadeia temos: $ (f^{-1})^{'}(f(a)) f^{'}(a) = 1 $ e portanto $ (f^{-1})^{'}(b) = \frac{1}{f^{'}(a)}. $

Agora discutimos a diferenciabilidade da $ f^{-1}. $ Já que a derivada da $ f $ tem sinal positivo (ou negativo) em todos os pontos, concluímos que $ f $ é estritamente crescente (ou estritamente decrescente). Já que $ f $ é contínua, a imagem dos pontos do interior de $ I $ pertence ao interior do domínio da $ f^{-1} $ e vice-versa. Se $ a \in I $ é um ponto no interior de $ I $ então para $ b=f(a) $ se $ |k| $ for suficientemente pequeno, $ b+k $ também é um ponto no interior do domínio da $ f^{-1}. $ Portanto existe $ h $ tal que $ b+k = f(a+h) $ e portanto:

$ \lim_{k \rightarrow 0} \frac{f^{-1}(b+k) - f^{-1}(b)}{k} = \lim_{k \rightarrow 0} \frac{f^{-1}(f(a+h)) - f^{-1}(f(a))}{f(a+h)-f(a)} $

$ = \lim_{k \rightarrow 0} \frac{h}{f(a+h)-f(a)} $

Já que $ f^{-1} $ é contínua, $ k \rightarrow 0 $ implica que $ h \rightarrow 0 $ e portanto o limite acima é igual ao seguinte:

$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{h}{f(a+h)-f(a)} = \frac{1}{f^{'}(a)}. $

Exemplos

A função $ sen: [-\pi/2, \pi/2] \rightarrow \mathbb{R} $ é injetiva e diferenciável e sua derivada $ cos $ é positiva no interior do domínio. Então usando regra de cadeia temos:

$ sen^{'}(Arcsen(x)) Arcsen^{'}(x) = 1 $ e portanto

$ cos(Arcsen(x)). Arcsen^{'}(x) = 1. $

Entretanto se $ x \in (-1,1) $ então

$ cos(Arcsen(x)) = \sqrt{1-x^2} $ e portanto temos:

$ Arcsen^{'}(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}. $

Observe também que $ Arcsen(x)+Arccos(x) = \pi/2 $ e derivando dos dois lados desta equacão temos:

$ Arccos^{'}(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}. $

Como exercício mostrem que: $ Arctg^{'}(x) = \frac{1}{1+x^2}, Arcotg^{'}(x) = -\frac{1}{1+x^2}. $

Exemplo de cálculo de taxa de variação

Vamos encher um reservatório cônico (vértice para baixo) de altura 20 cm e raio da base circular 10cm. Suponhamos que água entra no reservatório com velocidade 2 cm3/s. queremos calcular a taxa de acrescimo da altura da água no reservatório no momento em que altura da água é 6cm.

Considere variáveis $t$:tempo, altura da água $:=h$ e volume $V(t)$ no tempo $t$. Pela hipótese $\frac{dV}{dt} = 2.$ Queremos achar $\frac{dh}{dt}$ quando $h=6.$ Usando Tales, podemos concluir que $\frac{r}{h} = \frac{10}{20}=\frac{1}{2}$ onde $h$ é altura da água no instante $t$ e $r$ o raio da base do cone formada por água no instante $t$. Então $$ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{\pi}{12}h^3. $$ Agora pela regra de cadeia $$ \frac{dV}{dt}= \frac{dV}{dh} \frac{dh}{dt}$$ e pela fórmula do volume $\frac{dV}{dh} = \frac{\pi}{4}h^2$ e portanto $$ 2 = \frac{\pi}{4}h^2 \times \frac{dh}{dt} $$ substituindo $h=6$ temos $\frac{dh}{dt} = \frac{9}{2 \pi}.$