(Usamos Demonstração do Livro de S. Shahshahani, Sharif university of Technology)

Demonstração: Vamos supor que $ f(a) > f(b) $; caso contrário pode ser demonstrado de uma forma similar. Seja $ C \in (f(b), f(a)) $. Observe que se $ C $ coincidir com $ f(a) $ ou $ f(b) $ já terminamos a demonstração.

Considere o conjunto $ V $ dos números $ x $ no intervalo $ [a,b] $ tal que $ f(x) > C $. Observe que o ponto $ x=a $ está no $ V $. Considere o supremo deste conjunto (menor limite superior) e denotamos por $ c $. Afirmamos que $ f(c) = C $ Vamos provar por contradição:

Se $ f(c) < C $; então pela continuidade de função existe um intervalo “pequeno” na esquerda de $ c $ do tipo $ (c-\epsilon, c) $ tal que para todo ponto $ y $ neste intervalo temos também $ f(y) < C $. Isto contradiz o fato de que $ c $ era supremo do conjunto $ V $. Observação: se $ c $ é supremo do conjunto $ V $ então em particular existe uma sequência de pontos $ x_n \in V $ tal que $ x_n < c,  x_n \rightarrow c $ e em particular para $ n $ grandes, $ x_n \in (c -\epsilon, c) $ Se $ f(c) > C $ então novamente pela continuidade de função temos um intervalo em torno de $ c $ tal que para todo ponto neste intervalo o valor da função é maior do que $ C $ ou seja um intervalo em torno de $ c $ está contido em $ V $. Assim, concluímos que $ c $ não poderia ser o supremo do conjunto $ V $

As duas alternativas acima resultaram absurdo e portanto apenas resta aceitar $ f(c)=C $ que prova o teorema do valor intermediário.

ok, vamos seguir um caminho diferente para mostrar existência de $ c $. Para começar vamos facilitar e considerar $ f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R} $ contínua tal que    $ f(0) < 0 < f(1).$

e vamos mostrar que existe $ c \in [0,1] $ tal que $ f(c)=0. $ O caso geral segue deste caso, como veremos depois da demonstração do caso especial.

Consideramos representação binária de todos os números, i.e, para cada $ x \in [0,1] $ representamos $ x =0, n_1n_2n_3\cdots $ onde $ n_i \in \{0,1\} $ são dígitos do $ x $ na base 2. Vamos construir  $ c = 0, n_1n_2\cdots $ tal que $ f(c) =0. $

Considere $ f(\frac{1}{2}) $; Se $ f(1/2)=0 $ então já achamos $ c=\frac{1}{2} $. Caso contrário, temos duas alternativas:

1. $ f(\frac{1}{2}) > 0 $  neste caso definimos $ n_1= 0 $

2. $ f(\frac{1}{2}) < 0 $ neste caso definimos $ n_1 = 1 $

Observe que no caso (1), vamos buscar o ponto $ c $ no intervalo $ [0, 1/2] $. Qualquer número neste intervalo tem o primeiro digito depois da vírgula igual a zero. Neste caso, denotamos por $ I_1 = [0, \frac{1}{2}] $

No caso (2) vamos buscar pelo ponto $ c $ no intervalo $ [\frac{1}{2}, 1] $ e qualquer número neste intervalo tem o primeiro dígito igual a 1.  Neste caso $ I_1 $ será igual ao intervalo $ [\frac{1}{2}, 1]. $

Assim esclarecemos a escolha de $ n_1. $

Repetimos este processo, sempre dividindo o intervalo em dois intervalos iguais. Ou seja dividimos o intervalo $ I_1 $ e olhamos para o sinal de $ f(m_1) $ onde $ m_1 $ é o ponto médio do intervalo $ I_1. $ Novamente se $ f(m_1)=0 $ então já achamos o que queríamos e $ c=m_1 $ e se não, teremos dois casos:

Se $ f(m_1) > 0 $ então continuamos a busca no intervalinho do lado esquerdo e colocamos $ n_2=0 $, caso contrário $ n_2= 1 $

Os intervalos $ I_1, I_2, I_3, \cdots $ obtidos assim são encaixados e o tamanho deles decai para zero geometricamente. $ |I_n| = \frac{1}{2^{n+1}} $

Então pelo teorema de intervalos encaixados, temos apenas um ponto na interseção de todos estes intervalos que denotamos por $ c. $ Afirmamos que $ f(c)=0. $

Observe que pela escolha dos intervalos $ I_n $ sempre o valor da função no extremo esquerdo do intervalo é negativo e no extremo direito é positivo.

Agora usamos continuidade de $ f $ para mostrar que $ f(c)=0 $.

Ora, por um lado $ c = \lim_{n \rightarrow \infty} e_n $ onde $ e_n $ é o ponto extremo esquerdo do intervalo $ I_n $ e portanto $ f(c) = \lim_{n\rightarrow \infty} f(e_n) \leq 0 $ e por outro lado

$ c = \lim_{n \rightarrow \infty} d_n $ onde $ d_n $ é o ponto extremo direito do intervalo $ I_n $ e portanto $ f(c) = \lim_{n\rightarrow \infty} f(d_n) \geq  0 $. Concluímos então que:

$ f(c)=0. $

Agora vamos ver o caso geral: $ f(a)= A, f(b)=B $ e $ D $ um número entre $ A, B $. Provamos caso em que $ A<B $. Em caso $ A > B $ podemos conluir apenas considerando a função $ -f. $

Portanto temos $ A<C<B $ e buscamos $ c \in [a,b] $ tal que $ f(c) = C. $

Primeiramente reduzimos um valor fixo da função para que num extremo vire positivo e em outro negativo. Depois fazemos uma mudança de variável para reduzir o problema ao intervalo $ [0,1] $ como anteriormente. Vamos escrever com detalhes:

Defina uma nova função $ g: [0,1] \rightarrow \mathbb{R} $ de seguinte forma:

$ g(t) = f((1-t)a + t b) - C $

onde $ C $ satisfaz $ A-C< 0 < B -C $.

Observe que quando $ t $ percorre intervalo $ [0,1] $ então $ (1-t)a + tb  $ percorre o intervalo $ [a, b]. $ A função $ g $ é uma função contínua, pois é composição de funções contínuas. (Pense!)

Agora: $ g(0)= f(a) - C < 0, g(1) = f(b)-C >0 $ e portanto estamos no contexto do caso especial do teorema do valor intermediário e assim teremos $ t_0 \in [0,1] $ tal que $ g(t_0)=0. $

Portanto pela definição da função $ g $ concluímos que $ c = (1-t_0)a + t_0b $ satisfaz a relação $ f(c) = C. $

Isto quer dizer que existe pelo menos um ponto $ c \in [a,b] $ (máximo) tal que $ \forall x \in [a,b], f(x) \leq f(c). $ De uma forma similar existe pelo menos um ponto (mínimo) $ d \in [a,b] $ tal que $ \forall x \in [a,b], f(x) \geq f(d). $

Em particular o teorema acima implica que toda função contínua definida num intervalo $   [a,b] $ é limitada (superiormente e inferiormente), i.e existem $ m, M \in \mathbb{R} $ tais que para todo $ x \in [a,b] $ temos $ m \leq f(x) \leq M. $ Observe que o fato do itervalo ser fechado é importante: a função definida por $ f(x) = \frac{1}{x} $ é contínua no intervalo $ (0, 1) $ porém não é limitada neste intervalo!

Novamente vamos considerar $ f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R} $. Caso geral, como no teorema de valor intermediário, segue de mudança de variável.

Consideramos a representação binária dos números

$ c=0,c_1c_2\cdots  $ onde  $ c_i = 0, 1 $

Consideramos a decomposição $ [0,1] = [0, 1/2] \cup [1/2, 1] $ e afirmamos que pelo menos um dos intervalos (denotamos por $J$) da decomposição tem seguinte propriedade:

() Não existe nenhum ponto $ t_0 \in J $ tal que para qualquer $ t $ em $J^{c}$ (outro intervalo) $ f(t_0) > f(t) $

Vamo ver por quê: considere um dos intervalos $ [0, 1/2], [1/2, 1] $. Se este intervalo não tem propriedade acima, então ele possui um elemento $ t_0 $ tal que para qualquer $ t $ em outro intervalo

$ f(t_0) > f(t) $

portanto este outro intervalo satisfaz a prooriedade (). Pense!

Se um dos intervalos tiver propriedade () denotamos o outro intervalo de $ I_1 $. Se ambos tiverem a propriedade () escolhemos um deles e denotamos por $ I_1 $.  Definimos $ c_1 $:

$ c_1=0 $ se $ I_1=[0,1/2] $

$ c_1 = 1 $ se $ I_1 = [1/2,1] $

o ponto mais imortante aqui é compreender que vamos buscar o ponto máximo agora dentro do intervalo $ I_1. $

Agora, vamos dividir o intervalo $ I_1 $ em dois sub intervalos (esquerdo e direito) de tamanho $ 1/4 $. Repetimos o argumento anterior e teremos um deles satisfazendo (). Denotamos aquele que não satisfaz () de $ I_2 $. Se os dois satisfizerem () denotamos qualquer um deles de $ I_2. $ e definimos $ c_2: $

$ c_2=0 $ se $ I_2 $ for o subintervalo esquerdo

$ c_2 = 1 $ se $ I_2 $ for o subintervalo direito

Agora continuamos a busca por ponto máximo dentro do intervalo $ I_2 $

Continuando assim teremos $ c=0,c_1c_2c_3\cdots  $ e afirmamos que o ponto $ c $ é um máximo da função $ f. $

(demonstracão da afirmação por absurdo) Suponhamos que não! 

Se $ c $ não for máximo da função, então existe $ d \in [0,1] $ tal que $ f(d) > f(c).$ Observe que pela construção de $ c $ havia algum momento que $ c $ e $ d $ se separaram (ficaram nos subintervalos diferentes!) Seja $ n_1 $ o primeiro momento que isto ocorreu. Então pela nossa construção e busca: (*) $ c \in I_{n_1} $  e além disto existe $ d^{'} \in I_{n_1} $ tal que

$ f(d) \leq f(d^{'}) $ e portanto $ f(d^{'}) > f(c) $

Agora repetimos com o $ d^{'} $ o mesmo argumento que fizemos com $ d $. Então existe $ n_2 $ tal que $   d^{'} $ e $ c $ se separaram! Isto significa $ d^{'} $ não está no intervalo $   I_{n_2} $e portanto existe $ d^{''} $ tal que

$ f(d^{'}) \leq f(d^{''}) $ e portanto até agora obtivemos

$ f(c) < f(d) \leq f(d^{'})  \leq f(d^{''}) $. ()

Repetindo este argumento obteremos $ n_1 < n_2 < n_3 \cdots < n_k < \cdots $ e $ d^{(k)} \in I_{n_k} $  tal que $ d^{(k)} \rightarrow c. $ Isto é porque o tamanho dos intervalos $ I_{n_k} $ tende a zero e $ c $ está na interseção de todos eles.

Claro que isto tem uma contradicão com a continuidade da função $ f $. Pois, já que $ d^{(k)} \rightarrow c $ pela continuidade $ f(d^{(k}) \rightarrow f(c) $, enquanto pela escolha dos $ d^{(k)} $ (veja ) temos $ f(c) < f(d) \leq f(d^{(k)}) $  e portanto $ f(c) < \lim_{k \rightarrow \infty} f(d^{(k)}). $ Isto é um absurdo!