Teorema: Sejam $ f, g: (a, b) \rightarrow \mathbb{R} $ diferenciáveis e contínua no intervalo $ [a, b]. $ Se $ g^{'}(x) \neq 0 $  para $ x \in (a, b) $, então existe um ponto $ c \in (a,b) $ tal que

$ \frac{f^{'}(c)}{g^{'}(c)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}. $

Uma demonstração “fake”: (apenas para saber como não fazer as coisas!)

Pela teorema de valor intermediário existe $ c $ tal que $ f^{'}(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} $. Vamos aplicar novamente o teorema de valor médio, agora para funçao $ g $ e portanto $ g^{'}(c) = \frac{g(b)-g(a)}{b-a} $

Agora dividimos duas relações obtidas e temos

$ \frac{f^{'}(c)}{g^{'}(c)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}. $

Demonstração (de verdade!): Definimos uma nova função

$ H(x) = f(x)(g(b)-g(a)) - g(x)(f(b)-f(a)). $

Observe que a função $ H $ é diferenciável no intervalo aberto $ (a, b) $ e contínua no intervalo fechado $ [a,b] $ pois as funções $ f, g $ tinham essas propriedades.

Apenas substituindo valores, concluímos que $ H(a)=H(b)= f(a)g(b)-f(b)g(a) $ e portanto pelo Teorema do valor médio temos que existe $ c \in (a, b) $ tal que $ H^{'}(c)=0. $

É fácil ver (usando propriedade básica de derivada) que

$ H^{'}(x)= f^{'}(x)(g(b)-g(a)) - g^{'}(x)(f(b)-f(a)). $

Portanto $ H^{'}(c)= f^{'}(c)(g(b)-g(a)) - g^{'}(c) (f(b)-f(a)) =0 $ e rearranjando os termos desta equação obteremos que:

$ \frac{f^{'}(c)}{g^{'}(c)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}. $

(link Wikepedia) Atualmente sabe-se que a regra não se deve ao Guillaume François Antoine , Marquês de l'Hôpital, mas sim a Johann Bernoulli, um dos membros da célebre Família Bernoulli. A regra integrou a obra do marquês, sendo também atribuída ao mesmo, mediante um acordo entre ele e Bernoulli. Posteriormente descobriu-se tal fato.

Bom, vamos ao que nós interessa mais!

Observação: Neste teorema estamos assumindo $ a \in \mathbb{R} $. Porém  o limite $ L $ pode ser infinito também. A demonstração aqui é para $ L \in \mathbb{R} $ e o caso infinito realmente é um pequeno exercício.

Outro exercício: O Teorema é válido com as mesmas hipóteses quando $ a = \infty $ também e para demonstrar basta fazer uma mudança de variável e definir novas funções $ F(x) = f(\frac{1}{x}), G(x)= g(\frac{1}{x}). $

Demonstração:

Já que $ \lim_{x \rightarrow a} \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)} $ existe, concluímos que num intervalo (talvez furado no centro) em torno de $ a $ as derivadas existem e $ g^{'}(x) \neq 0. $ Vamos denotar por $ I $ este intervalo. Definimos duas novas funções (muito parecidas com $ f, g $): Sejam $ F, G $ tais que $ F(a)=G(a)=0 $ e $ f(x)=F(x), g(x)=G(x) $ para todos os outros pontos do domínio das funções $ f, g. $

Dado qualquer $ x \in I $ podemos aplicar o teorema do valor médio generalizado para $ F, G $ no intervalos com pontos extremos $ a, x. $ e portanto

$ \frac{F^{'}(c)}{G^{'}(c)} = \frac{F(x)-F(a)}{G(x)-G(a)} = \frac{f(x)}{g(x)}. $

Mas pela definição das funções $ F^{'}(c)=f^{'}(c), G^{'}(c)=g^{'}(c) $

e portanto

$ \frac{f^{'}(c)}{g^{'}(c)} = \frac{f(x)}{g(x)}. $   (*)

Observe que $ c $ na equação acima depende do ponto $ x $, porém quando $ x $ tende ao ponto $ a $, então os pontos $ c $ correspondentes também convergem ao ponto $ a $ por estarem entre $ a, x. $

Já que $ \lim_{x \rightarrow a} \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)} = L $ então a medida que $ c $ aproximar ao ponto $ a $ o valor de $ \frac{f^{'}(c)}{g^{'}(c)} $ aproxima a $ L $ (no caso limite infinito, aproximar tem que ser compreendido de forma correta!). Portanto  pela equação (*) e observação logo depois desta equação temos

$ \lim_{x \rightarrow} \frac{f(x)}{g(x)}=L.  $

*

Observação: Como no caso do teorema anterior o teorema é válido mesmo quando o limite $ L $ é infinito e/ou $ a = \infty. $

Demonstração (vamos fazer já que existe muitos demonstrações erradas na internet):

Sejam $ p, q $ tais que $ p <  L < q $ e  escolha $ L < r < q $.  Já que $ \lim_{x \rightarrow a} \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)} = L $ então para existe uma vizinhança furada de $ a $ tal que nesta vizinhança $ \frac{f^{'}(c)}{g^{'}(c)} < r $. Agora para quaisquer dois números $x, y$ nessa vizinhança (considere ambos $x, y$ ou maior do que $a$ ou menor) pelo Teorema do Valor médio generalizado temos

$ \frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)} = \frac{f^{'}(c)}{g^{'}(c)} < r $ (1)

Pela hipotese sabemos que $ \lim_{x \rightarrow a} g(x)=\infty $ (considere o caso em que $+\infty$). Fixamos a partir de agora o ponto $ y  $ e portanto para $ x  $ muito próximo de $ a  $ temos pelo menos $ g(x) > g(y)  $ e consequentemente $ g(x)-g(y) > 0.  $

Então podemos multiplicar ambos os lados da desigualdade (1) no fator $ g(x) -g(y)  $ e dividimos por $ g(x)  $ obteremos

$ \frac{f(x)}{g(x)} < r - r \frac{g(y)}{g(x)} + \frac{f(y)}{g(x)}.    $

Bem, a desigualdade acima tem uma mensagem muito positiva! Novamente, a medida que $ x \rightarrow a  $ as frações $ \frac{g(y)}{g(x)}, \frac{f(y)}{g(x)}   $ tendem ao zero (observe que não estamos mexendo com $ y $) e portanto para TODOS os $ x $ muito próximo ao ponto $ a $ temos

$ \frac{f(x)}{g(x)} < q. $ (lembram do número $ q? $ ele é maior do que número $ r. $)

De uma forma similar podemos escolher uma vizinhança muito pequena de $ a $ tal que pontos $ x $ nesta vizinhança satisfazem $ \frac{f(x)}{g(x)} > p. $

Já que $ p, q $ eram escolhidos inicialmente arbitrários limitando número $ L $ então pela definição de limite:

$ \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = L. $

Exemplos Alegres e  Exemplo para Alertar :

Exemplo1. Calcule $ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x-sen(x)}{x^3} $.

A determinação é do tipo $ \frac{0}{0} $ e vamos calcular as derivadas. 

$ \frac{f^{'}}{g^{'}} = \frac{1-cos(x)}{3x^2}  $ e observe que a indeterminação permanece. Vamos insistir e derivar novamente: $ \frac{f^{''}(x)}{g^{''}(x)}= \frac{sen(x)}{6x} $ e ainda permaneceu! Derivamos de novo e o limite existe e é igual a $ \frac{1}{6}. $  Legal né?

Exemplo 2. Calcule $ \lim_{x \rightarrow 0^{+} } x \ln(x) $

Observe que podemos escrever $ x \ln(x) = \frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}} $ e lidamos com indeterminação do tipo $ \frac{\infty}{\infty} $ e observem que as hipótese do teorema neste caso é satisfeita. Portanto

$ \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2}}=0. $

(lembrem de nosso mote que logaritmo é mais fraco que polinomial que por sua vez é mais fraco que exponencial!)

Exemplo 3.  Calcule $ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} $

Observe que a indeterminação deste limite é do tipo $ \frac{\infty}{\infty} $.

$ \frac{f^{'}}{g^{'}} = \frac{e^x+ e^{-x}}{e^x - e^{-x}}  $

e assim a indeterminação permanece. O problema é que se derivarmos mais vezes nunca a indeterminação vai sumir!

Mas que tal massagear a função um pouco antes de calcular o limite!

$ \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} -1}{e^{2x} + 1} $

e agora podemos até aplicar uma vez L'hopital e o limite é igual a 1.

Exemplo 4. Calcule $ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x+cos(x)}{x} $

Observe que a indeterminação é do tipo $ \frac{\infty}{\infty} $. Se utilizarmos o L'hopital sem cuidado escreveremos $ \frac{f^{'}}{g^{'}} = \frac{1-sen(x)}{1} $ que não tem limite quando $ x \rightarrow \infty. $ Essa última função oscila e não tem limite.

Porém $ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x+cos(x)}{x} =  \lim_{x \rightarrow \infty} 1+ \frac{cos(x)}{x} = 0. $

Aha, a regra L'hopital aqui não funcionou, pois o limite da proporção das derivadas Não EXISTE! Ou seja a recíproca do enunciado do L'hopital não vale.