Gráfico de funções:
Para esboçar gráfico de uma função (quando não temos geogebra disponível!) vamos primeiramente averiguar o domínio da função.
Em seguida os pontos críticos e averiguar pontos máximo, mínimo, inflexão. Para tal, precisamos fazer uma tabelinha de sinal das derivadas. Se acharmos pontos da interseção com eixo $ x $ (pode ser impossível ou difícil) e eixo $ y $ podemos ter uma precisão melhor.
Finalmente, vamos procurar possíveis assíntotas horizontais, verticais e oblíquas da função.
Exemplos:
Seja $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = x^4 -x^3. $ Esboce o gráfico da $ f. $
Claro que domínio da $ f $ é toda reta real. Vamos calcular derivadas:
$ f^{'}(x)=4x^3-3x^2, f^{''}(x)=12x^2-6x. $
Assim concluímos que $ x=0, \frac{3}{4} $ são pontos críticos (onde a derivada se anula.) Pelo sinal da segunda derivada e teste da segunda derivada, o ponto $ \frac{3}{4} $ é mínimo local. enquanto o ponto $ x=0, \frac{1}{2} $ são pontos de inflexão.
É fácil ver que essa função não admite nenhuma assíntota.
Outro exemplo:
Esboce o gráfico da função $ f $ dada pela equação $ f(x)= x^2 sen(\frac{1}{x}) $ se $ x \neq 0 $ e $ f(0)=0. $ Ou seja a reta tangente no
ponto $ x=0 $ ao gráfico da função é horizontal.
Em todos os pontos exceto $ x=0 $ é fácil ver que a função é diferenciável. Verificaremos que no ponto $ x=0 $ também temos derivada. De fato anteriormente haviamos calculado $ f^{'}(0)=0. $ Para todos $ x \neq 0 $:
$ f^{'}(x)= 2x sen(1/x) - cos(1/x) $
Para achar pontos críticos observe que se $ f^{'}(x)=0 $ então $ tg(1/x)=\frac{1}{2x}. $
Afirmação: Existem $ t_n \rightarrow \infty $ tais que $ tg(t_n)= \frac{t_n}{2}, tg(-t_n)= \frac{-t_n}{2}, $
Observe que isto implica que a sequência $ x_n = \frac{1}{t_n} $ converge a zero e $ x_n, -x_n $ são pontos críticos.
Além disto, o sinal da derivada numa vizinhança pequena destes pontos altera:
$ f^{'}(x)= (2xcos(1/x)) (tg(1/x) - \frac{1}{2x}) $
em cada ponto $ x_n $ o segundo fator é zero e muda de sinal numa vizinhança pequena e o primeiro fator não altera sinal.
Portanto os pontos $ x_n $ são alternadamente pontos máximo e mínimo local.
Para ter uma precisão maior observe que $ |sen(1/x)| \leq 1 $ e portanto
$ -x^2 \leq f(x) \leq x^2. $
A prova da afirmação: Basta observar que o gráfico da função $ t \rightarrow tg(t) $ e $ t \rightarrow t/2 $ se cruzam em infinitos pontos.
Exercício: Considere $ f(x)= \frac{x}{2}+ x^2sen(1/x), x \neq 0 $ e $ f(0)=0. $ Mostre que $ f^{'}(0) > 0 $ porém em nenhum intervalo em torno do ponto $ x=0 $ a função não é crescente!
Lembrem que se num intervalo a derivada for positiva, então a função é crescente! Neste exemplo apenas verificamos a positividade da derivada no ponto zero.
Pode esbocar o gráfica da $ f? $