(texto abaixo foi retirado do livro infinite powers, Strogatz)

A versão do cálculo diferencial do Fermat  é um excelente casamento entre álgebra e análise. Um dos problemas que ele considerou foi um simples adaptação de (hoje em dia) um exercício de otimização:

Imagine que você quer fabricar uma caixa com base  quadrada $ x$ por $ x $ e altura adequada para comprir regra de uma empresa aérea: A soma das medidas (altura, comprimento e largura) das caixas não podem ultrapassar 45 inchs. Quais serão as medidas da caixa para ter máximo de volume?

a intuição pode sugerir que um cubo é a melhor solução. De fato é! Porém vamos ver como o Fermat abordou este tipo de problema.

Primeiramente vamos utilizar símbolos algébricos (Primeiro texto usando álgebra para resolver problemas é pelo matemático Persa Al-Kharismi  cujo nome dá orígem a palavra algoritmo também): Denotando por $ x $ o comprimento e largura e por $ 45-2x $ a alrtua, já que queremos volume máximo. Multiplicando as dimensões para obter volume, temos:

$ V(x)= x^2 (45 -2x)= 45x^2 - 2x^3$

Qual é o valor do $ x $ para que o volume, i,.e, $ V(x) $ seja máximo?

Vamos esboçar o gráfico (usando geogebra)  da função $ x \rightarrow V(x) $ para ter alguma ideia. ah, fiz uma contração na coordenada y para visualizar melhor. o gráfico abaixo é da função $ x \rightarrow (45x^2-2x^3)/100  $ que tem o mesmo valor x onde tem seu máximo.

“Dá para ver” que $ x = 15 $ é o ponto onde a função alcança seu valor máximo no problema desejado.  Ok, um(a) cientista não trabalho apenas com olhos. precisamos argumentar mais rigorosamente. Veja o que o Fermat fez, já que não tinha geogebra e outras tecnologias (inclusive a derivada, vejamos nas próximas páginas a noção de derivada):

Ele considerou a parte do gráfico da função entre $ x=0 $ e $ x=22,5 $ e observou que as retas horizontais abaixo de nível do máximo intersectam o gráfico em dois pontos enquanto retas acima deste nível não o cruzam. No valor máximo a reta horizontal “deve” intersectar o gráfico apenas em um ponto!

Então vamos botar a mão na massa! Quando a reta intersecta o gráfico em dois pontos $   x=a, x=b $(lembrem que apenas estamos considerando $ x \geq  0 $) temos $ V(a)=V(b) $ e portanto

$ 45a^2 - 2a^3 = 45b^2 -2b^3 $

rearranjando a equação acima temos:

$ 45a^2 - 45b^2 = 2a^3 -2b^3 $

agora com uma pitada de álgebra básica concluímos:

$ 45(a-b)(a+b) = 2(a-b)(a^2 + ab + b^2) $

Bem, vamos dividir os dois lados da equação por $   a-b $. Podemos dividir? Sim, uma vez que $ a \neq b  $. Beleza! Teremos:

$ 45(a+b) = 2(a^2 + ab + b^2) $.

Agora vem o “pulo do gato Fermat”!  Neste momento, após de ter cancelado $ a-b $ dos dois lados da equação, ele vem e coloca $ a=b $ para achar o valor de tal ponto onde obteremos o máximo!

$ 45(2a) = 2(a^2 + a^2 + a^2) $ e portanto $ 90a = 6a^2 $ e o valor aceito será 

$ a=15 $.

Mas será que o Fermat fez algo ilegal? humm

Não! De fato para $ a $ muito próximo a $ b $ teremos

$ 90a \sim 2(a^2+a^2+a^2)    $. Em seguida, trocamos o símbolo de aproximação por igualdade! Ai, estmaos usando algum argumento de continuidade.