Nesta seção vamos discutir a aproximação de funções por funções lineares.

Sejam $ f,g : S \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ duas funções e $ x_0 $ um ponto do interior de $ S  $. Dizemos que $ f $ e $ g $ são tangentes no ponto $ x_0 $ se

• $ f(x_0) = g(x_0) $
• $ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-g(x)}{x-x_0} =0. $

A primeira condição quer dizer que os gráficos das funções $ f, g $ passam do mesmo ponto    $ (x_0, f(x_0)) = (x_0, g(x_0)) $.

A segunda condição distingue a tangência das funções da mera interseção de seus gráficos.  Observe que $ |f(x_0) - g(x_0)| $ representa a distância vertical entre os dois gráficos no ponto $ x_0 $ e assim a segunda condição exige que essa distância dividida por $ |x - x_0| $ (que também converge à zero) convirja à zero, quando $ x $ tende à $ x_0. $

Considere duas funções $ f(x) = x^2 + |x|, g(x) = |x|. $ Observe que $ f(0)= g(0) = 0. $

Vamos verificar a segunda condição de tangência das duas funções:

$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-g(x)}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2}{x} =0. $

Portanto essas duas funções são tangentes no ponto $ x=0. $

É importante ressaltar que nenhuma delas é diferenciável no ponto $ x=0. $

Porém se as funções forem diferenciáveis a condição de tangência (condição 2) é a mesma que $ f^{'}(x_0)=g^{'}(x_0). $

Por efeito,  (usando o fato de que $ f(x_0)=g(x_0) $)

$ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-g(x)}{x- x_0} = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x) - f(x_0) + g(x_0) - g(x)}{x-x_0} $

$ = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x- x_0} - \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{g(x)-g(x_0)}{x- x_0} = f^{'}(x_0) - g^{'}(x_0) $

e portanto a condição (2) é mesma que $ f^{'}(x_0) = g^{'}(x_0). $

De fato podemos mostrar que se uma das funções (tangentes entre se) for diferenciável então a outra também deve ser e as derivadas coincidem.

Dado $ x_0, $ no interior do domínio da função $ f $, se a função for diferenciável no ponto $ x_0 $ e $ f^{'}(x_0)= m $ então a reta com equação:

$ y = f(x_0) + m (x-x_0) $

é a única reta que é tangente ao gráfico da $ f $ no ponto $ (x_0, f(x_0)) $ com a definição dada acima sobre tangência de duas curvas (gráfico da $ f $ e a reta considerada como gráfico da função $ g(x)= f(x_0) + m(x-x_0) $.

Para verificar, vamos calcular observamos seguintes cálculos:

$ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x) - g(x)}{x-x_0} = \frac{f(x) - (f(x_0) + m(x-x_0))}{x-x_0} $

$ = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-m=0 $.

Chamamos a função afim $ g  $ de aproximação linear de $ f $ no ponto $ x_0 $. Ou seja a função $ g $ é a função “mais próxima” à função $ f $ no ponto $ x_0. $

Uma outra forma de escrever a aproximação linear é como a seguir:

Denotamos por

$ E(h):= f(x_o + h) - (f(x_0) + f^{'}(x_0) h) = f(x_0+h) - g(x_0 + h)  $

o resto da subtração da $ f $ da sua aproximação num ponto $ x_0 + h $, Então pela definição da derivada temos $ \lim_{h \rightarrow 0}  \frac{E(h)}{h} = 0. $

ou seja temos seguinte relação:

$ f(x_0 + h) = f(x_0) + h f^{'}(x_0) + E(h) $  tal que $ R(h) = \frac{E(h)}{h} \rightarrow 0 $ quando $ h \rightarrow 0. $

Demonstração: Suponhamos que $ f $ é diferenciável no ponto $ a $. Para demonstrar a continuidade precisamos provar que $ \lim_{h \rightarrow 0} f(a+h) = f(a). $

Pela formula de aproximação linear temos

$ f(a+h) = f(a) + h f^{'}(a) + E(h) $

e observe que $ \lim_{h \rightarrow 0} h f^{'}(a) = \lim_{h \rightarrow 0} E(h) = 0. $ e portanto $ \lim_{h \rightarrow 0} f(a+h) = f(a). $

Lembramos que a continuidade não implica diferenciabilidade. O exemplo da função $ |x| $ é um bom exemplo. Vamos dar outro exemplo:

Considere a função $ f(x)= x sen(\frac{1}{x}), x \neq 0, f(0)=0. $ Já  temos provado que essa função é contínua no ponto $ x=0. $ Entretanto vamos verificar que não é diferenciável neste ponto:

$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{xsen(\frac{1}{x})}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} sen(\frac{1}{x}) $

e o limite acima não existe. Portanto a função não é diferenciável no ponto $ x=0. $

Observe que essa função no ponto zero tem infinitas oscilações, porém é contínua. Entretanto a altura das oscilações fazem com que a função não seja diferenciável.

Quer ver um exemplo mais legal ainda?

Exercício: Considere $ f(x)= x^2 sen(\frac{1}{x}). $ Mostre que essa função é diferenciável no ponto $ x=0 $ e que $ f^{'}(0)=0. $