Vamos dar dois exemplos onde naturalmente encontramos a função exponencial. A função exponencial satisfaz a seguinte propriedade:

$ f(x+y)= f(x) f(y)$

Depois mostraremos que toda função contínua que satisfaz a condição acima é de fato uma função exponencial.

Elementos radioativos transformam em outros elementos ao longo do tempo. É importante saber a quantidade que permanece (não transformou) após um determinado tempo $ t $.

Suponhamos $ M(t) $ representar a fração da materia (de uma unidade de massa) que sobra após passar o tempo $ t $. Vamos assumir que $ M(t) $ é uma função contínua de $ t $ e $ M(0)=1,   0 < M(t) < 1 $ para todo $ t > 0 $.

Se iniciarmos com $ A $ unidades de massa, ficaremos com $ AM(t) $ de material radioativo inicial depois de tempo $ t $.

Qual será a quantidade de material após tempo $ s+t $? Vamos calcular de duas formas diferentes:

Primeiramente  pela definição a quantidade sobrada é é $ AM(s+t) $. Por outro laso após o tempo $ s $ a quantidade é $ AM(s) $ e em seguida vamos calcular a quantidade da materia quando passa tempo $ t $ e chegaresmo ao valor $ AM(s)M(t) $. Portanto:

$ M(s+t)=M(s)M(t) $       (1)

Observe que $ M(x) < 1 $ para todo $ x >0 $ e portanto concluimos que

$ \lim_{x \rightarrow 0} M(x) =0 $ (verifique isto!)

Sabemos que $ M(0)=1 $ e portanto pelo teorema do valor intermediário concluímos que existe $ h>0 $ tal que $ M(h) = \frac{1}{2} $.

Observe que usando (1) concluímos que $ M(t+h)=\frac{1}{2}M(t) $. Isto significa que começando em qualquer tempo $ t $, após passar tempo $ h $ a quantidade de materia é dividida por dois. Este tempo é chamado de meia vida.

Por exemplo a meia vida de carbono-14 é de 5730 anos.

Suponhamos que $ P(t) $ é o tamanho da população bacteriana (começando no tempo zero por um abacteria) no tempo $ t $.

Assumimos que $ P $ é uma função contínua e $ P(0)=1 $ e $ P(t)> 1 $ para todo $ t>0. $

Se fornecemos nutriente e as bacterias não competirem entre se e tivermos espaço suficiente para crescimento das bacterias. É razoável esperar que nestas circunstâncias a população da colonia é proporcional a população inicial, ou seja

tamanho da população no tempo $ t = A P(t) $ onde $ A $ é o tamanho inicial.

Argumentando similar ao caso de decaimento radioatívo concluímos

$ P(s+t) = P(t)P(s). $ (2)

Já que $ P(t) > 1 $ para $ t > 0 $ podemos usar a relação (2) e concluir que $ \lim_{x \rightarrow \infty} P(x) = \infty $ e pelo teorema do valor intermedíario deve existir $ d $ tal que $ P(d)=2. $ Novamente usando a relação (2) concluímos que para qualquer $ t $ temos:

$ P(t+d) = 2P(t) $

ou seja $ d $ é o tempo de dobra!

*

Vamos mostrar que toda função contínua $ f $ satisfazendo:

$ f(x+y)=f(x)f(y) , a=f(1)>0 $

deve ser uma função exponencial, $ f(x)=a^x. $

Para começar vamos substituir $ x=y $ na equação (2). Portanto

$ f(2x)= f(x)f(x) = f(x)^2 $

Agora se colocarmos $ y=2x $ na equação (2) concluímos

$ f(3x)=f(2x+x) = f(2x) f(x) = f(x)^2 f(x)=f(x)^3 $ e continuando desta forma podemos provar que para todo $ x $:

$ f(nx)=f(x)^n $ (3)

Se $ x=1 $ a equação (3) implica que $ f(n) = f(1)^n = a^n $.

Agora se colocarmos $ x=\frac{1}{n} $ na equação (3) temos $ f(1) = f(\frac{1}{n})^n $ e portanto $ f(\frac{1}{n}) = a^{1/n}. $

Agora considere $ x=\frac{1}{m} $ na equação (3). Logo

$ f(\frac{n}{m}) = a^{n/m} $. Até agora temos provado que para qualquer número racional $ r >0 $ vale $ f(r) = a^r. $

Já que $ f $ é uma função contínua, para todo número irracional $ \alpha >0 $ também temos $ f(\alpha) = a^{\alpha} $

É um exercício provar $ f(x) = a^x $ para $ x <0 $ também.

Exponencial é mais forte de qualquer polinomial!

Teorema: Para qualquer $ a > 1 $ a função $ a^x $ cresce mais rápido de que qualquer $ x^k $ quando $ x $ tende ao infinito, $ k=0, 1,2,3, \cdots $. Isto siginifica que para qualquer $ k \in \mathbb{N} $:

$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{a^x}{x^k} = +\infty $ ou equivalentemente

$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^k}{a^x} = 0 $

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O caso mais simples é quando $ k=0 $. De fato para isto basta provar que $ \lim_{x \rightarrow +\infty} a^x = +\infty. $

Caso $ k= 1 $: Definimos $ f(x) = \frac{a^x}{x} $ e temos:

$ f(x+1) = \frac{a^{x+1}}{x+1} = \frac{a^x}{x} \frac{a}{1+\frac{1}{x}}  $  (4)

Afirmamos que para $ x $ grande o suficiente, o fator $ \frac{a}{1+\frac{1}{x}} $ é maior do que 1. Por efeito, $ a > 1 + \frac{1}{m} $ para algum número $ m $. Seja $ b = \frac{a}{1+ \frac{1}{m}} $. Agora para todo $ x>m $ temos

$ \frac{a}{1+\frac{1}{x}} \geq \frac{a}{1+ \frac{1}{m}} = b > 1. $ Juntando isto com a relação (4) temos:

$ f(x+1) \geq f(x)b. $

$ f(x+2) \geq f(x)b^2  $, ….. $ f(x+n) \geq f(x)b^n $

Agora, qualquer número grande $ X $ pode ser escrito como soma de dois números, um dos quais pertence ao intervalo $ [m, m+1] $ e o outro é um número inteiro $ n $.  Denotamos por $ M \neq 0 $ o mínimo da função no intervalo $ [m, m+1] $. Então:

$ f(X) = f(x + n) \geq f(x) b^n \geq M b^n $

Dado que $ b > 1 $ concluímos que $ f(X) \rightarrow \infty $ quando $ X \rightarrow \infty $.

Caso $ k > 1 $: Precisamos achar $ s $ tal que $ s^k =a $ e ai temos:

$ \frac{a^x}{x^k}=(\frac{s^x}{x})^k    $

e usamos o caso $ k=1 $ para concluir a demonstração.

Exemplo Diferente: Calcule $ \lim_{x \rightarrow - \infty} \frac{a^x}{x^5}.$