Dada uma função diferenciável  $f$ e ponto $a$ no interior do seu domínio, a aproximação linear da $f$ em torno de $a$ é uma função linear $L$ tal que

$f(a)=L(a)$ e

$f^{'}(a)= L^{'}(a).$

A partir de agora denotamos por $f^{(n)}$ a derivada de órdem $n$ da função $f.$ Lembrando que $f^{'}$ é a derivada de ordem 1.

Polinômio de Taylor de grau $k$:

Seja $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ uma função $k$ vezes diferenciável em $a \in I.$  Então existe um e apenas uma função polinômial de grau $k$ denotado por $p_k$ tal que

$p(a)=f(a), p^{'}(a)=f^{'}(a), \cdots p^{(k)}(a)=f^{(k)}(a).$

Demonstração: (é um exercício) A dica para mostrar existência de tal polinômio é escrever $p(x)= a_0 + a_1 (x-a) + a_2(x-a)^2 + \cdots + a_k(x-a)^k$

Assim, podemos concluir que

$a_0 = f(a), a_1 = f^{'}(a), a_2 = \frac{1}{2!} f^{''}(a), \cdots, a_k = \frac{1}{k!} f^{(k)}(a).$

Por coincidência de valores de $f^{(i)}(a)$ e $p^{(i)}(a)$, vamos concluir que a função polinomial $p$ é uma aproximação “bem forte” (de órdem $k$) de $f$ perto de $a.$

Mais rigorosamente:

Teorema: Se $p$ é o polinômio Taylor de grau $k$ no ponto $x=a$ então

$\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-p(x)}{(x-a)^k} =0.$

Agora podemos entender o que queríamos dizer com aproximação forte: perto do ponto $a$ o erro de aproximação de $f(x)$ por $p(x)$ é dominado por $(x-a)^k.$ Na medida em que escolhemos k maior, teremos um polinômio que melhor aproxima a função.

Demonstração (usando L'hopital assumindo que $f$ é $k$ vezes diferenciável com derivada contínua num intervalo em torno de $a$):

$(f(x)-p(x))^{(k)}= f^{(k)}(x)-p^{(k)}(x)$ e a derivada de órdem $k$ da função $(x-a)^k$ é $k!$

Portanto $\lim_{x \rightarrow a} \frac{(f(x)-p(x))^{(k)}}{((x-a)^k)^{(k)}} = \lim_{x \rightarrow a} \frac{f^{(k)}(x) - p^{(k)}(x)}{k!} = \lim_{x \rightarrow a} \frac{f^{(k)}(a)-p^{(k)}(a)}{k!} =0.$

Exemplo:

Vamos achar polinômios de Taylor da função $sen$ no ponto $x=0.$ Assim podemos achar um método de calcular aproximadamente valores de $sen(x)$ que para $x$ perto de zero funcione muito bem.

$sen(0)=0$

$sen^{'}(0)=cos(0)=1$

$sen^{''}(0)=-sen(0)=0$

$sen^{'''}(0)=-cos(0)=-1$

e a partir da quarta derivada repetimos os mesmos números.

Então os polinômios até quinto grau são os seguintes:

$P_1 (x) = P_2(x) =  x$

$P_3(x)=P_4(x) = x - \frac{x^3}{3!}$

$P_5(x)= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}.$