Chegou a hora de falar como somar dois números irracionais! Dado dois números a e b. se eles são racionais na escola aprendemos como somá-los. Mas como somar $\sqrt{2}$ e $\sqrt{3}?$

Precisamos lembrar que cada número irracional tem uma representação por decimais. Seja $a_n$ e $b_n$ o truncamento por n digitos da expansão decimal de a e b. Lembrando que assim temos aproximação de $a$ e $b$ por um erro de no máximo $10^{-n}.$ Portanto se considerarmos $a_n + b_n$ (soma de dois números racionais) teremos um resultado que no máximo tem um erro $2 \times 10^{-n}$ até a soma “verdadeira” de a e b. Assim aumentando $n$, teremos resultados cada vez mais próximo a valor de $a+b$.

Se pensar um pouco, vamos ver que para produto ou divisão de dois números irracionais, o método de aproximar por racionais não é tão trivial quanto a soma.

o exemplo de $a_n$ acima é exemplo de uma sequência de números. Uma sequência de números reais geralmente é denotado por $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}, a_n \in \mathbb{R}$. Porém podemos encontrar sequnências como $(a_n)_{n \geq k}$ ou $(a_n)_{n=k}^{\infty}$.

Exemplo: Seja $a_n = n+\frac{1}{n},$ então os elementos desta sequência crescem com índice (n) , i.e $a_n \leq a_{n+1}$ e os elementos desta sequência não se acumulam perto de nenhum número.

Em geral no cálculo 1 trabalhamos com sequências que cada elemento delas é um número real. Porém, uma sequência em E (um conjunto qualquer e não necessariamente $\mathbb{R}$) é uma função de $\mathbb{N}$ em E.

por exemplo podemos considerar sequência de escadas que “aproximam” a hipotenusa de um triângulo retangular como na pagina Cálculo: vamos quebrá-lo!

Outro exemplo (sequência de retas!): seja $l_n$ uma sequência de retas que passam pela origem com inclinação n. Os elementos desta sequência são retas que quando o índice n cresce os elementos ficam mais próximo a reta vertical. Podemos considerar essa sequência como sequência de funções também. Aqui $f_n$ pode ser considerado $n$ 'esimo elemento da sequência, onde $f_n$ é a função com regra $f_n(x)=nx, x\in \mathbb{R}.$

Chegamos a um conceito bastante interessante. Já encontramos uma vez este conceito de convergência quando falamos de números irracionais e sua aproximação por números racionais a partir de sua expansão decimal. Porém a sequência de aproximações por decimais é uma sequência muito bem comportada e “tame”. A partir de agora quando falamos sequência, referimos sequência de números. A noção de convergência para números já é suficientemente delicada.

Seja $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ uma sequência real, então dizemos que a sequência converge, se existir $a_*$ tal que para todo $\epsilon > 0$ exista N, tal que $|a_n - a_*| \leq \epsilon$ para todo $n > N.$

Observe que N em geral depende do $\epsilon.$

Vamos falar em português!: Para qualquer precisão $\epsilon$, existe N tal que a partir de N, todo elemento da sequência $a_n, n > N$ é $\epsilon$ próximo a $a_*$, ou seja para um computador com precisão $\epsilon$ , todos os elementos $a_n, n > N$ são iguais a $a_*$.

Exemplo 1.

Considere a sequência -1, 1, -1, 1, -1,…. i.e $a_n = (-1)^n$. Essa sequência não converge a nenhum limite. Vamos demonstrar por absurdo. Suponhamos que exista um limite L para tal sequência. Portanto pela definição Para qualquer $\epsilon > 0$ existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n > N$ temos $|a_n -L|\leq \epsilon$. Se colocarmos $\epsilon = 1/2$ então deveria existir algum $N$ tal que para todo $n > N$ teriamos $|a_n - L| \leq 1/2$.

Portanto pela desigualdade triangular teriamos $|a_n - a_{n+1}| \leq |a_n -L|+|L - a_{n+1}| \leq 1/2 + 1/2 =1.$ Isto é um absurdo, pois $|a_n - a_{n+1}| =2$ para todo n.

Exemplo2 :

Seja $a_n = \frac{1}{n}$. Essa sequência converge a 0. Escrevemos

$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0.$

De fato, se $\epsilon > 0$ é arbitrário, podemos escolher sempre um número $N$ tal que $N > \frac{1}{\epsilon}$ ou seja $\frac{1}{N} < \epsilon$ e portanto para todo $n \geq N$ temos

$|a_n - 0| = |\frac{1}{n} - 0| = \frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} < \epsilon.$

O seguinte teorema é uma ferramenta fundamental para calcular limites.

Não ignorem o poder do teorema acima!

Você precisa usar ele diversas vezes e é necessário aplicar corretamente.por exemplo, considere $a_n = \frac{(-1)^n}{n}.$ Essa sequência converge a zero, mas não podemos simplemente considerar essa sequência como divisão de duas sequências $(-1)^n$ e $n$ e calcular o limite. Pois $(-1)^n$ não possui limite. Porém escolhendo N, exatamente como caso da sequência $1/n$ teremos

$|a_n - 0| = |\frac{(-1)^n}{n} - 0| = \frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} < \epsilon.$

e isto mostra que o limite é zero.

Exemplo: Considere $a_n = 1/n$ e $b_n= 2/n$. O que acham do limite de $c_n = a_n / b_n$. Claro que $c_n = 1/2$ para todo n e portanto $\lim_{n \rightarrow \infty} c_n = \frac{1}{2}.$ Porém não podemos usar o teorema acima, pois $b_* = 0.$

Vamos provar o teorema:

item (1): Vamos utilizar uma linguagem computacional. Seja $a_n$ uma aproximação de $a_*$ e $|a_n - a_*|$ será chamado de erro de aproximação. Agora se considerarmos $a_n+b_n$ como uma aproximação de $a_* + b_*$ então qual será o erro de aproximação?

Suponhamos $\delta= a_* - a_n, \delta^{'} = a_* - b_n$. Então

$(a_* + b_*) - (a_n + b_n) = (a_* - a_n) + (b_* -b_n)$ e portanto

$|(a_* + b_*) - (a_n + b_n)| \leq |\delta| + |\delta^{'}|$ ou seja se considerarmos $a_n + b_n$ como uma aproximação de $a_* + b_*$ o erro de aproximação não é maior do que a soma dos erros de aproximações. Portanto se desejarmos aproximar $a_* + b_*$ com um erro menor do que $\epsilon$ é suficiente usar a convergência de $a_n$ e achar $N_1$ tal que para $n \geq N_1$

$|a_* - a_n| \leq \frac{\epsilon}{2}$

Da mesma forma existe $N_2$ tal que para todo $n \geq N_2$ teremos

$|b_* - b_n| \leq \frac{\epsilon}{2}.$

Agora se escolhermos N, um número inteiro maior do que $N_1$ e $N_2$ então para todo $n \geq N$ teremos

$|\delta| \leq \epsilon /2, |\delta^{'}| \leq \epsilon /2$ e portanto o erro de aproximação de $a_* + b_*$ por $a_n + b_n$ para $n \geq N$ será menor do que $\epsilon.$

Agora vamos analisar como será a prova da parte (2) do teorema: qual será o erro de aproximação de $a_*b_*$ por $a_n b_n$, se o erro de aproximação de $a_*$ por $a_n$ é igual a $\delta$ e da aproximação de $b_*$ é $\delta^{'}$:

$a_*b_* - a_n b_n = (a_n + \delta)(b_n + \delta^{'}) - a_nb_n = a_n \delta^{'} + b_n \delta + \delta \delta^{'}.$

claro que se $\delta, \delta^{'}$ forem pequenos então $\delta \delta^{'}$ também é um número pequeno, mas $a_n \delta^{'}$ ou $b_n \delta$ podem não ser pequenos. Para continuar vamos precisar de seguinte lema:

Lema: Seja $z_n$ uma sequência que converge a $z_*$. Então existe um número $K$ tal que para todo $n$, temos $|z_n| < K$ e além disto $|z_*| < K.$

Vamos usa o lema acima para terminar a demonstração do item (2) do teorema.

Primeiramente observe que

$|a_*b_* - a_nb_n| = (a_*b_* - a_*b_n) + (a_*b_n -a_nb_n)$ e portanto

Seja $\epsilon > 0$ um número real e que queremos aproximar $a_*b_*$ com precisão $\epsilon$ por sequência $a_n b_n.$ Pelo lema anterior existe K e L tais que

$|a_n| < K, |a_*| < K$ e da mesma forma $|b_n| < L , |b_*| < L.$

Por outro lado sabemos pela convergência das sequências $a_n$ e $b_n$ que existem $N_1, N_2$ tais que para $n \geq N_1$ temos

$|a_* - a_n| \leq \frac{\epsilon}{2L}$

e por outro lado para $n \geq N_2$ teremos

$|b_* - b_n| \leq \frac{\epsilon}{2K}$

portanto se escolhermos N maior do que ambos os números $N_1$ e $N_2$ então para todo $n \geq N$ teremos

$|a_*b_* - a_n b_n| \leq K \frac{\epsilon}{2K} + L \frac{\epsilon}{2L} = \epsilon.$

 Um belo exemplo

Seja $a= 487.r_1r_2r_3\cdots , b = 3. s_1s_2s_3\cdots$ onde $r_n$ e $s_n$ são computáveis com algum esforço! Queremos escolher n tal que se

$a_n = 487.r_1r_2r_3\cdots r_n$ e $b_n = 3. s_1s_2s_3\cdots s_n$ então a diferença entre $a_nb_n$ e ab seja menor do que $10^{-5}.$ Isto é, num computador com precisão $10^{-5}$ $a_n b_n$ é o memso que $ab.$

observem que pela desigualdade maravilhosa acima e o fato de que $|a-a_n| \leq 10^{-n}, |b-b_n| \leq 10^{-n}$ temos $|ab - a_n b_n| \leq (K+L) 10^{-n}$ onde $K$ e $L$ são estimativas superiores para $a_n, b_n$.

portanto, se colocarmos $K=488$ e $L=4$ temos

$|ab - a_n b_n| \leq 492 \times 10^{-n}$.

Agora, para que essa diferença seja menor do que $10^{-5}$ basta escolher n tal que $492 \times 10^{-n} < 10^{-5}$ ou seja $492 < 10^{n-5}$. O menor n que satisfaz essa desigualdade é n=8. Portanto se usarmos 8 dígitos decimais de a e b, a aproximação de ab terá precisão de pelo menos $10^{-5}.$ LEGAL, né?