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calculo1:rolle

Sobre sinal da derivada

Suponhamos que f seja diferenciável no ponto a e portanto teremos três possibilidades:

  1. f(a)>0
  2. f(a)<0
  3. f(a)=0.

Vamos mostrar que se ocorrer (1) então existe número δ>0 tal que se a<x<a+δ então f(x)>f(a)  e se aδ<x<a então f(x)<f(a).

Demonstração: Já que f(a)>0 então existe ϵ>0,f(a)>ϵ. Pela definição da derivada existe δ>0 tal que para todo 0<|xa|<δ temos ϵ/2<f(x)f(a)xaf(a)<ϵ/2 portanto f(x)f(a)xa>ϵ/2>0.

Da desigualdade acima concluímos que o sinal de f(x)f(a) coincide com o sinal de xa no conjunto 0<|xa|<δ. Assim demonstramos o que afirmamos.

De uma forma similar podemos mostrar que no caso (2) teremos δ>0

tal que se a<x<a+δ então f(x)<f(a)  e se aδ<x<a então f(x)>f(a).

Corolário fantástico

Corolário: Um ponto a é chamado ponto máximo local (resp. mínimo local) da função f se existir δ>0 tal que para todo x[aδ,a+δ] temos f(x)f(a). (resp. f(x)f(a).)

O corolário da discussão sobre sinal da derivada é que se um ponto a for máximo ou mínimo local de uma função diferenciável nest eponto então f(a)=0.

Exemplos

Considere a função  f(x)=x4x3. Essa função é diferenciável em todo R. Vamos analisar o sinal da derivada:

f(x)=4x33x2=x2(4x3).

Portano para todo x<34 temos f(x)<0 e para x>34,f(x)>0 e em dois pontos x=0,34 a derivada se anula.

Vamos analisar o ponto x=0. Nest eponto a derivada é zero. Entretanto, f(x)>0 para x<0 e f(x)<0 para 0<x<1 que mostra que x=0 não nem máximo nem mínimo local!

Observe que anteriormente provamos que se x=a for um máximo ou mínimo local e a função for diferenciável no ponto a então f(a)=0 e o exemplo mostra que a recíproca não é verdade.

Agora analisarmos a função no intervalo [0,1]. Sabemos que f é contínua e portanto pelo teorema de Weierestrass admite pelo menos um ponto mínimo. Dado que neste intervalo f(x)0 e apenas nos pontos x=0,1 a função se anula, concluímos que o mínimo ocorre num ponto no interior do intervalo [0,1]. Já que x=34 é o único ponto neste intervalo onde f(x)=0 então é o ponto mínimo local da função.

Pode já imaginar como deve ser o gráfico da função? Veja a seguir o gráfico:

Exemplo:  Considere a função f(x)=xsen(x). Verificamos que f(a)=0 para qualquer número a=2kπ,kZ, porém nestes pontos a função não tem máximo, nem mínimo local.

Michel Rolle matemático francês 1652-1719. A notação n... é atribuída a ele também.

Teorema de Rolle

Teorema: Seja f:[a,b]R contínua e diferenciável em todos os pontos do interior, i.e (a,b). Suponhamos que f(a)=f(b)=0. Então existe c(a,b) tal que f(c)=0.

Demonstração: Se para todo x[a,b] termos f(x)=0 logo concluímos que a função é constante e portanto sua derivada em todos os pontos do interior é zero.

Se isto não ocorrer, vai existir algum x0(a,b),f(x)0. Vamos assumir que f(x0)>0. Agora pelo teorema de Weierestrass a função contínua tem algum ponto (digamos o ponto c) máximo no intervalo fechado [a,b]. Já que f(x0)>0 então f(c)>0 também e portanto este ponto máximo não pode ser nenhum dos pontos a,b. Agora, pelo corolário fantástico (veja acima)  concluímos que f(c)=0.

Uma ligeira generalização deste resultado é o teorema de Valor médio:

Teorema de Valor médio

Teorema: Seja f:[a,b]R contínua e diferenciável em todos os pontos do interior, i.e (a,b).  Então existe c(a,b) tal que f(c)=f(b)f(a)ba.

Em termos físicos, num intervalo de tempo [a,b] existe um momento que a velocidade instantânea coincide com a velocidade média (estamos assumindo as mesmas hipoteses do teorema também).

Este resultado pode ser usado para estimar crescimento de uma função:

Suponhamos que f:[a,b]R contínua e diferenciável em todos os pontos do interior do intervalo. Se existir M0 tal que para todo x(a,b),|f(x)|M então |f(b)f(a)|M|ba|. Ou em utras palavras ΔyMΔx.

Exemplo: Para todo α,βR mostre que |sen(α)sen(β)||αβ|.

Basta considerar f(x)=sen(x) e lembrar que f(x)=cos(x) e que |f(x)|1 e aplicar resultado acima.

Exemplo: Para quaisquer a,b>0 mostre que |11+a11+b||ab|.

Basta considerar f(x)=11+x no intervalo (1,). Observe que f(x)=1(1+x)2 e para x>0 podemos ver que |f(x)|<1.

Exercício: Mostre que oara 0<x<π/2 vale:

  • cos(x)>1x22
  • sen(x)>xx36.
calculo1/rolle.txt · Last modified: 2022/05/31 20:11 by 127.0.0.1