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Sobre sinal da derivada
Suponhamos que f seja diferenciável no ponto a e portanto teremos três possibilidades:
- f′(a)>0
- f′(a)<0
- f′(a)=0.
Vamos mostrar que se ocorrer (1) então existe número δ>0 tal que se a<x<a+δ então f(x)>f(a) e se a−δ<x<a então f(x)<f(a).
Demonstração: Já que f′(a)>0 então existe ϵ>0,f′(a)>ϵ. Pela definição da derivada existe δ>0 tal que para todo 0<|x−a|<δ temos −ϵ/2<f(x)−f(a)x−a−f′(a)<ϵ/2 portanto f(x)−f(a)x−a>ϵ/2>0.
Da desigualdade acima concluímos que o sinal de f(x)−f(a) coincide com o sinal de x−a no conjunto 0<|x−a|<δ. Assim demonstramos o que afirmamos.
De uma forma similar podemos mostrar que no caso (2) teremos δ>0
tal que se a<x<a+δ então f(x)<f(a) e se a−δ<x<a então f(x)>f(a).
Corolário fantástico
Corolário: Um ponto a é chamado ponto máximo local (resp. mínimo local) da função f se existir δ>0 tal que para todo x∈[a−δ,a+δ] temos f(x)≤f(a). (resp. f(x)≥f(a).)
O corolário da discussão sobre sinal da derivada é que se um ponto a for máximo ou mínimo local de uma função diferenciável nest eponto então f′(a)=0.
Exemplos
Considere a função f(x)=x4−x3. Essa função é diferenciável em todo R. Vamos analisar o sinal da derivada:
f′(x)=4x3−3x2=x2(4x−3).
Portano para todo x<34 temos f′(x)<0 e para x>34,f′(x)>0 e em dois pontos x=0,34 a derivada se anula.
Vamos analisar o ponto x=0. Nest eponto a derivada é zero. Entretanto, f(x)>0 para x<0 e f(x)<0 para 0<x<1 que mostra que x=0 não nem máximo nem mínimo local!
Observe que anteriormente provamos que se x=a for um máximo ou mínimo local e a função for diferenciável no ponto a então f′(a)=0 e o exemplo mostra que a recíproca não é verdade.
Agora analisarmos a função no intervalo [0,1]. Sabemos que f é contínua e portanto pelo teorema de Weierestrass admite pelo menos um ponto mínimo. Dado que neste intervalo f(x)≤0 e apenas nos pontos x=0,1 a função se anula, concluímos que o mínimo ocorre num ponto no interior do intervalo [0,1]. Já que x=34 é o único ponto neste intervalo onde f′(x)=0 então é o ponto mínimo local da função.
Pode já imaginar como deve ser o gráfico da função? Veja a seguir o gráfico:
Exemplo: Considere a função f(x)=x−sen(x). Verificamos que f′(a)=0 para qualquer número a=2kπ,k∈Z, porém nestes pontos a função não tem máximo, nem mínimo local.
Michel Rolle matemático francês 1652-1719. A notação n√... é atribuída a ele também.
Teorema de Rolle
Teorema: Seja f:[a,b]→R contínua e diferenciável em todos os pontos do interior, i.e (a,b). Suponhamos que f(a)=f(b)=0. Então existe c∈(a,b) tal que f′(c)=0.
Demonstração: Se para todo x∈[a,b] termos f(x)=0 logo concluímos que a função é constante e portanto sua derivada em todos os pontos do interior é zero.
Se isto não ocorrer, vai existir algum x0∈(a,b),f(x)≠0. Vamos assumir que f(x0)>0. Agora pelo teorema de Weierestrass a função contínua tem algum ponto (digamos o ponto c) máximo no intervalo fechado [a,b]. Já que f(x0)>0 então f(c)>0 também e portanto este ponto máximo não pode ser nenhum dos pontos a,b. Agora, pelo corolário fantástico (veja acima) concluímos que f′(c)=0.
Uma ligeira generalização deste resultado é o teorema de Valor médio:
Teorema de Valor médio
Teorema: Seja f:[a,b]→R contínua e diferenciável em todos os pontos do interior, i.e (a,b). Então existe c∈(a,b) tal que f′(c)=f(b)−f(a)b−a.
Em termos físicos, num intervalo de tempo [a,b] existe um momento que a velocidade instantânea coincide com a velocidade média (estamos assumindo as mesmas hipoteses do teorema também).
Este resultado pode ser usado para estimar crescimento de uma função:
Suponhamos que f:[a,b]→R contínua e diferenciável em todos os pontos do interior do intervalo. Se existir M≥0 tal que para todo x∈(a,b),|f′(x)|≤M então |f(b)−f(a)|≤M|b−a|. Ou em utras palavras Δy≤MΔx.
Exemplo: Para todo α,β∈R mostre que |sen(α)−sen(β)|≤|α−β|.
Basta considerar f(x)=sen(x) e lembrar que f′(x)=cos(x) e que |f′(x)|≤1 e aplicar resultado acima.
Exemplo: Para quaisquer a,b>0 mostre que |11+a−11+b|≤|a−b|.
Basta considerar f(x)=11+x no intervalo (−1,∞). Observe que f′(x)=−1(1+x)2 e para x>0 podemos ver que |f′(x)|<1.
Exercício: Mostre que oara 0<x<π/2 vale:
- cos(x)>1−x22
- sen(x)>x−x36.