Temos um vaso com formato em figura abaixo. Vamos encher o vaso com água com saindo de uma torneira com velocidade constante.  Qual será o esboço do gráfico da altura da água em função do tempo? Discutiremos, que o gráfico deve ser similar ao gráfico do lado da figura do vaso.

Claro que a função $t \rightarrow h(t)$ é crescente e precisamos prestar atenção nas alturas importantes $a, b, c$ onde o formato do vaso tem alterações geométrica “considerável”.  Vamos supor que $h$ é uma função diferenciável, portanto $h^{'}(t) > 0.$ Vamos analisar a segunda derivada da função. Se num intervalo de tempo, a taxa de crescimento de $h$  for crescente (descrescente), então a segunda derivada é positiva (negativa) e função é convexa (côncava).

No intervalo $0 \leq h \leq a$ a largura do vaso está crescendo e portanto a taxa de crescimento da altura deve ser decrescente. Neste intervalo a segunda derivada é negativa. Argumentando de forma similar em outros intervalos podemos concluir que o gráfico da função deve ser similar a figura acima.  Observe que também $t_a > t_c - t_b$. Porquê?

Suponhamos que o consumo de gasolina (litro/hora) de um carro seja função de velocidade e dado pela fórmula $c(v) = \frac{1}{400} (v - 50)^2 + 5.$

Qual é a velocidade com melhor rendimento litro de consumo por kilometro rodado?

Observe que neste problema vamos minimizar a função $v \rightarrow q(v)$ onde $q(v)$ é o consumo por kilometro de gasolina na velocidade dada $v.$ Podemos verificar que

$q(v) = \frac{P(v)}{v}.$ Porquê?

De fato se olharmos para o gráfico da função $p$ para minimizar função $q$ vamos procurar a abcissa do ponto no gráfico da função $p$ tal que a reta passando por este ponto e a orígem tenha menor inclinação possível.

$\frac{dq}{dv} = \frac{\frac{dp}{dv}.v - p}{v^2} = \frac{\frac{1}{200}v^2 - \frac{1}{4}v - \frac{1}{400}(v-50)^2 -5}{v^2}$

e para achar mínimo, vamos resolver $\frac{dq}{dv}=0$ e assim temos:

$\frac{1}{400}v^2 - \frac{45}{4}=0$ e $v \sim 67.$

Observe que o mínimo da função $p$ é obtido na velocidade $v=50.$

Mostrem que o produto de dois números reais e positivos ( $> 0$) cuja soma é constante terá o valor máximo quando eles são iguais.

A soma de dois números constante: $x+y=c$ então $y=c-x$

Agora o produto deles $P = x(c-x)=cx -x^2.$ Podemos considerar $P$ como função de $x.$ Assim para achar o máximo

calculamos a derivada $P^{'}(x)=c-2x$ e portanto $x=c/2$ é um ponto crítico. Usando teste da segunda derivada podemos verificar que se trata de um ponto máximo.

Observação: Neste problema $0 < x < c.$ O ponto crítico $x = \frac{c}{2}$ é aceitável. Porém em geral quando achamos máximo local através de ponto crítico de uma função devemos comparar o valor da função com valor nos pontos extremais do domínio da função (aqui $(0, c).$)

É simples ver que $P(0)=P(c)=0 < P(\frac{c}{2}).$

Mostre que dados números reais $a_1, a_2 \cdots , a_n$ então o menor valor de $\sum_{i=1}{n} (x-a_i)^2$ é obtido quando $x = \frac{a_1+a_2+ \cdots + a_n}{n}.$

Para um raio de luz monocromática passando de um meio para o outro, é constante o produto do seno do ângulo, formado pelo raio e pela normal, com o índice de refração em que se encontra esse raio.  :

${\displaystyle n_{1}\cdot \sin \theta _{1}=n_{2}\cdot \sin \theta _{2}}$

onde $n_1, n_2$ são índices de refração nos respectivos ambientes. ou de forma equivalente (uma vez que $n_i = \frac{c}{c_i}$ sendo $c$ velocidade da Luz no vácuo.)

$\frac{sen(\theta_1)}{sen(\theta_2)} = \frac{c_1}{c_2}$ onde $c_i, i=1,2$ são as velocidades de Luz nos meios (1) e (2).

Para resolver este problema, vamos escrever o tempo necessário para a luz chegar do ponto A ao ponto B em termos de $x$ (mostrado na figura: distância entre projeção ortogonal do ponto A sobre divisor dos ambientes e o ponto que o raio de luz cruza o divisor dos ambientes.)

$T(x) = t_1 + t_2$ onde $t_1 = \frac{\sqrt{x^2 + h_1^2}}{c_1}$ e $t_2 = \frac{\sqrt{(d-x)^2 + h_2^2}}{c_2}$

onde $h_1, h_2$ são as distâncias de $A, B$ até o divisor dos ambientes e $d$ é a distância de suas projeções sobre divisor dos ambientes.

$T^{'}(x)= \frac{x}{c_1 \sqrt{x^2 + h_1^2}} - \frac{d-x}{c_2 \sqrt{(d-x)^2 + h_2^2}}$

Manipulando a equação $T^{'}(x)=0$ e usando trigonometria básica obtemos o resultado desejado.