Critério da segunda derivada: Seja $f$ uma função definida num intervalo em torno de $a$ e duas vezes diferenciável no ponto $a$ e além disto $f^{'}(a)=0$ (ou seja $a$ é um ponto crítico). Então:

Se $f^{''}(a) > 0$ então $a$ é um ponto mínimo local, Se $f^{''}(a) < 0$ então $a$ é um ponto máximo local.

Observação: Se “por azar” $f^{''}(a) =0$ não podemos afirmar nada a não ser que tenhamos alguma informação sobre outras derivadas. Vamos ver no final desta página.

Demonstração: Utilizamos polinômio de Taylor de segundo grau $P_2(x)$ e sua propriedade fundamental:

$\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-P_2(x)}{(x-a)^2} =0.$

Lembramos que (usando a hipótese $f^{'}(a)=0.$):

$P_2(x) = f(a) + (x-a)f^{'}(a) + \frac{1}{2} (x-a)^2  f^{''}(a) = f(a) + \frac{1}{2} (x-a)^2  f^{''}(a)$

Portanto concluímos que:

$\lim_{x \rightarrow a } \frac{f(x)- f(a)}{(x-a)^2} - \frac{f^{''}(a)}{2} =0.$

Sendo assim temos:

Se $f^{''}(a) > 0$ para todo $x$ suficientemente próximo ao ponto $a$          $\frac{f(x)- f(a)}{(x-a)^2} >0$ e portanto para tais $x$ temos que $f(x) > f(a).$ Isto significa que $a$ é um mínimo local. Se $f^{''}(a) < 0$ para todo $x$ suficientemente próximo ao ponto $a$          $\frac{f(x)- f(a)}{(x-a)^2} < 0$ e portanto para tais $x$ temos que $f(x) < f(a).$ Isto significa que $a$ é um máximo local.

Teorema: Seja $I$ um intervalo e $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ duas vezes diferenciável e sua segunda derivada seja positiva (negativa) no intervalo $I$. Então dado qualquer ponto $a$ no interior de $I$, então se $x \neq a$ temos $(x,f(x))$ está acima (abaixo) do ponto $(x, L(x))$ onde $L(x)$ é a ordenada do ponto na reta tangente ao gráfico da função no ponto $a.$

No primeiro caso temos:

$f(x) > f(a) + f^{'}(a)(x-a)$

e no segundo caso:

$f(x) < f(a) + f^{'}(a)(x-a).$

O resultado acima dá uma informação sobre concavidade do gráfico da função no intervalo $I.$ No caso segunda derivada positiva a função é chamada convexa (ou concavidade para cima) e se a segunda derivada for negativa a função é chamada de côncava (ou concavidade para baixo).

Demonstração:

Basta lembrar o teorema de valor médio adaptado:

$f(x) - (f(a) + f^{'}(a)(x-a) = \frac{1}{2} f^{''}(c)(x-a)^2$ para algum ponto entre $a$ e $x$.

Ponto de inflexão:

Seja $a < b < c$ e o sinal da segunda derivada da função $f$ no intervalo $(a, b)$ seja oposto do sinal no intervalo $(b, c)$ então o ponto $b$ é chamado de ponto de inflexão.

Se a segunda derivada for uma função contínua, claro que $f^{''}(b) =0.$

na figura abaixo o ponto $x=0$ é o ponto de inflexão da função cúbica $f(x)=x^3.$ Observe que $f^{''}(x)=6x$ que tem sinal oposto em torno do ponto $x=0.$

Cuidado: 

Um ponto onde segunda derivada é zero não é necessáriamente ponto de inflexão. Por exemplo se $f(x)=x^4$ claramente $f^{''}(0)=0$ mas pelo fato de que $f^{''}(x)=12x^2$ não temos alteração do sinal da segunda derivada em torno do ponto $x=0.$ (veja o gráfico para acreditar que não existe nenhuma inflexão!)

*

Teste de resistência! (Para curios@s)

Suponhamos que $x=a$ é um ponto crítico e $f^{''}(a)=0.$ Assim não podemos aplicar o teste da segunda derivada. Vamos olhar para terceira derivada se existir.

Se $f^{'''}(a) >0$ então podemos concluir que $a$ não é um ponto máximo ou mínimo local.

$f(x)= f(a) + \frac{(x-a)f^{'''}(a)}{3!} + Err(x)$ onde $\frac{Err(x)}{(x-a)^3} \rightarrow 0$ quando $x \rightarrow a.$

portanto

$\frac{f(x)-f(a)}{(x-a)^3} > 0$ para $x$ muito próximo de $a.$

Analisando sinal do numerador e denominador concluímos que $x=a$ não é mínimo, nem máximo.

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suponhamos que a terceira derivada também se anular. Resistimos! olhamos para derivada de órdem quatro, $f^{(4)}(a).$ Usando polinímio de grau quatro concluímos que:

se $f^{(4)}(a) > 0$ então $a$ é mínimo local. se $f^{(4)}(a) < 0$ então $a$ é máximo local.

e se a quarta derivada anular….

Teste de derivada de órdem k:

Seja $f$ uma função $k$ vezes diferenciável num ponto $a$ no interior de seu domínio e que $f^{(i)}(a)=0, i=1,2,.., k-1$ e $f^{(k)}(a) \neq 0.$ então:

Se $k$ for par, dependendo se $f^{(k)}(a) > 0$ ou $f^{(k)}(a) < 0$, $a$ é um mínimo local ou máximo local. se $k$ for ímpar, então o ponto $a$ não é nem máximo, nem mínimo local.