Leibniz introduziu uma notação para representar a derivada de uma função que tem dupla aplicação: Primeiramente é uma fração que lembra a noção de limite na definição de derivada e por outro lado aparece com frequência como um facilitador nas contas que utilizam regra de cadeia.

Seja $f: S \rightarrow \mathbb{R}$ uma função e vamos escrever $y =f(x).$ Isto significa que $x$ é uma variável em $S$ enquanto $y$ é variável (que depende do $x$ ) dentro da imagem da função $f.$

Pois bem, se $a$ for um ponto no interior de $S$ lembramos a definição da derivada (se existir) no ponto $a$ .

$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

Se denotarmos por $\Delta y, \Delta x$ respectivamente o numerador e denominador a fração que define a derivada, a derivada no ponto $a$ é igual

$\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}.$

A notação introduzida pelo Leibniz para derivada é:

$\frac{dy}{dx}(a), \frac{dy}{dx}|_{x=a}$ ou $\frac{dy(f(a))}{dx(a)}$

Podemos ler: a derivada da $y$ com respeito da variável $x$ no ponto $x=a.$

Podemos “fingir” que $\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}.$

Sendo assim nasceram duas “criaturas” $dx, dy$ que apenas fazem sentido como ferramentas baseadas no rigor do “jogo do” cálculo.

Vamos dar um exemplo sério onde podemos usar essas notações:

Se olharmos a regra de cadeia com olhar das notações de Leibniz: Seja $y=f(x), b=f(a)$ e $z=g(y)$ , então $z=(g\circ f)(x)$ e portanto a regra de cadeia pode ser escrita:

(1) $\frac{dz(g(b))}{dx(a)} = \frac{dz(g(b))}{dy(b)}. \frac{dy(b)}{dx(a)}$

ou

(2) $\frac{dz}{dx}(a) = \frac{dz}{dy}(f(a)). \frac{dy}{dx} (a)$

e se quisermos relaxar ainda mais vamos escrever:

(3) $\frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy} \frac{dy}{dx}.$

A igualdade acima faz todo o sentido, apesar de que cada termo tipo $dz, dy, dx$ “não faz sentido individualmente”.

Atenção

A igualdade acima tem que ser compreendida bem. pois o uso “bobo” dela pode criar problemas. Precisamos lembrar que cada derivada é calculada em qual ponto e para isto precisamos entender bem o enunciado da regra de cadeia.

Será que com estes jeitos de escrever, olhando para equação (1) e cancelando $dy(b)$ de um numerador e denominador não demonstraríamos a regra de cadeia???

Não, a rigor! Por exemplo, como podemos cancelar um termo se não sabermos se é zero ou não.

Derivadas de órdem superior:

Se a derivada de uma função $f$ for diferenciável a segunda derivada $f^{''}$ é denotada por derivada da derivada da $f$ . Se $f^{''}$ for diferenciável a terceira derivada também faz sentido,….

Denotamos por $f^{(n)}(a)$ a derivada de órdem $n$ da função $f$ no ponto $a.$ Em notações de Leibniz escrevemos $\frac{d^n f}{dx^n}(a).$

Exercício

Considere $f(x)=\frac{1}{x}$ . Calcule a $n$ ésima derivada da $f.$

Derivada de função inversa:

Um corolário da regra de cadeia é calcular a derivada da inversa de uma função diferenciável.

Teorema: Suponhamos $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ diferenciável em todos os pontos do interior do intervalo $I$ e sua derivada em todos os pontos tem o mesmo sinal (e nunca zero). Então $f^{-1}$ é diferenciável em todos os pontos interior de seu domínio e para todo tal ponto, $b= f(a)$ temos

$(f^{-1})^{'}(b) = \frac{1}{f^{'}(a)}.$

DEmonstração: Se assumirmos a diferenciabilidade da $f^{-1}$ usando regra de cadeia podemos obter a fórmula da derivada da $f^{-1}$ :

Basta derivar dos dois lados da seguinte equação:

$(f^{-1} \circ f)(x)=x$ .

Usando regra de cadeia temos: $(f^{-1})^{'}(f(a)) f^{'}(a) = 1$ e portanto $(f^{-1})^{'}(b) = \frac{1}{f^{'}(a)}.$

Agora discutimos a diferenciabilidade da $f^{-1}.$ Já que a derivada da $f$ tem sinal positivo (ou negativo) em todos os pontos, concluímos que $f$ é estritamente crescente (ou estritamente decrescente). Já que $f$ é contínua, a imagem dos pontos do interior de $I$ pertence ao interior do domínio da $f^{-1}$ e vice-versa. Se $a \in I$ é um ponto no interior de $I$ então para $b=f(a)$ se $|k|$ for suficientemente pequeno, $b+k$ também é um ponto no interior do domínio da $f^{-1}.$ Portanto existe $h$ tal que $b+k = f(a+h)$ e portanto:

$\lim_{k \rightarrow 0} \frac{f^{-1}(b+k) - f^{-1}(b)}{k} = \lim_{k \rightarrow 0} \frac{f^{-1}(f(a+h)) - f^{-1}(f(a))}{f(a+h)-f(a)}$

$= \lim_{k \rightarrow 0} \frac{h}{f(a+h)-f(a)}$

Já que $f^{-1}$ é contínua, $k \rightarrow 0$ implica que $h \rightarrow 0$ e portanto o limite acima é igual ao seguinte:

$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{h}{f(a+h)-f(a)} = \frac{1}{f^{'}(a)}.$

Exemplos

A função $sen: [-\pi/2, \pi/2] \rightarrow \mathbb{R}$ é injetiva e diferenciável e sua derivada $cos$ é positiva no interior do domínio. Então usando regra de cadeia temos:

$sen^{'}(Arcsen(x)) Arcsen^{'}(x) = 1$ e portanto

$cos(Arcsen(x)). Arcsen^{'}(x) = 1.$

Entretanto se $x \in (-1,1)$ então

$cos(Arcsen(x)) = \sqrt{1-x^2}$ e portanto temos:

$Arcsen^{'}(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$

Observe também que $Arcsen(x)+Arccos(x) = \pi/2$ e derivando dos dois lados desta equacão temos:

$Arccos^{'}(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$

Como exercício mostrem que: $Arctg^{'}(x) = \frac{1}{1+x^2}, Arcotg^{'}(x) = -\frac{1}{1+x^2}.$

Exemplo de cálculo de taxa de variação

Vamos encher um reservatório cônico (vértice para baixo) de altura 20 cm e raio da base circular 10cm. Suponhamos que água entra no reservatório com velocidade 2 cm3/s. queremos calcular a taxa de acrescimo da altura da água no reservatório no momento em que altura da água é 6cm.

Considere variáveis $t$ :tempo, altura da água $:=h$ e volume $V(t)$ no tempo $t$ . Pela hipótese $\frac{dV}{dt} = 2.$ Queremos achar $\frac{dh}{dt}$ quando $h=6.$ Usando Tales, podemos concluir que $\frac{r}{h} = \frac{10}{20}=\frac{1}{2}$ onde $h$ é altura da água no instante $t$ e $r$ o raio da base do cone formada por água no instante $t$ . Então $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{\pi}{12}h^3.$ Agora pela regra de cadeia $\frac{dV}{dt}= \frac{dV}{dh} \frac{dh}{dt}$ e pela fórmula do volume $\frac{dV}{dh} = \frac{\pi}{4}h^2$ e portanto $2 = \frac{\pi}{4}h^2 \times \frac{dh}{dt}$ substituindo $h=6$ temos $\frac{dh}{dt} = \frac{9}{2 \pi}.$