(Usamos Demonstração do Livro de S. Shahshahani, Sharif university of Technology)

Demonstração: Vamos supor que $f(a) > f(b)$; caso contrário pode ser demonstrado de uma forma similar. Seja $C \in (f(b), f(a))$. Observe que se $C$ coincidir com $f(a)$ ou $f(b)$ já terminamos a demonstração.

Considere o conjunto $V$ dos números $x$ no intervalo $[a,b]$ tal que $f(x) > C$. Observe que o ponto $x=a$ está no $V$. Considere o supremo deste conjunto (menor limite superior) e denotamos por $c$. Afirmamos que $f(c) = C$ Vamos provar por contradição:

Se $f(c) < C$; então pela continuidade de função existe um intervalo “pequeno” na esquerda de $c$ do tipo $(c-\epsilon, c)$ tal que para todo ponto $y$ neste intervalo temos também $f(y) < C$. Isto contradiz o fato de que $c$ era supremo do conjunto $V$. Observação: se $c$ é supremo do conjunto $V$ então em particular existe uma sequência de pontos $x_n \in V$ tal que $x_n < c,  x_n \rightarrow c$ e em particular para $n$ grandes, $x_n \in (c -\epsilon, c)$ Se $f(c) > C$ então novamente pela continuidade de função temos um intervalo em torno de $c$ tal que para todo ponto neste intervalo o valor da função é maior do que $C$ ou seja um intervalo em torno de $c$ está contido em $V$. Assim, concluímos que $c$ não poderia ser o supremo do conjunto $V$

As duas alternativas acima resultaram absurdo e portanto apenas resta aceitar $f(c)=C$ que prova o teorema do valor intermediário.

ok, vamos seguir um caminho diferente para mostrar existência de $c$. Para começar vamos facilitar e considerar $f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ contínua tal que    $f(0) < 0 < f(1).$

e vamos mostrar que existe $c \in [0,1]$ tal que $f(c)=0.$ O caso geral segue deste caso, como veremos depois da demonstração do caso especial.

Consideramos representação binária de todos os números, i.e, para cada $x \in [0,1]$ representamos $x =0, n_1n_2n_3\cdots$ onde $n_i \in \{0,1\}$ são dígitos do $x$ na base 2. Vamos construir  $c = 0, n_1n_2\cdots$ tal que $f(c) =0.$

Considere $f(\frac{1}{2})$; Se $f(1/2)=0$ então já achamos $c=\frac{1}{2}$. Caso contrário, temos duas alternativas:

1. $f(\frac{1}{2}) > 0$  neste caso definimos $n_1= 0$

2. $f(\frac{1}{2}) < 0$ neste caso definimos $n_1 = 1$

Observe que no caso (1), vamos buscar o ponto $c$ no intervalo $[0, 1/2]$. Qualquer número neste intervalo tem o primeiro digito depois da vírgula igual a zero. Neste caso, denotamos por $I_1 = [0, \frac{1}{2}]$

No caso (2) vamos buscar pelo ponto $c$ no intervalo $[\frac{1}{2}, 1]$ e qualquer número neste intervalo tem o primeiro dígito igual a 1.  Neste caso $I_1$ será igual ao intervalo $[\frac{1}{2}, 1].$

Assim esclarecemos a escolha de $n_1.$

Repetimos este processo, sempre dividindo o intervalo em dois intervalos iguais. Ou seja dividimos o intervalo $I_1$ e olhamos para o sinal de $f(m_1)$ onde $m_1$ é o ponto médio do intervalo $I_1.$ Novamente se $f(m_1)=0$ então já achamos o que queríamos e $c=m_1$ e se não, teremos dois casos:

Se $f(m_1) > 0$ então continuamos a busca no intervalinho do lado esquerdo e colocamos $n_2=0$, caso contrário $n_2= 1$

Os intervalos $I_1, I_2, I_3, \cdots$ obtidos assim são encaixados e o tamanho deles decai para zero geometricamente. $|I_n| = \frac{1}{2^{n+1}}$

Então pelo teorema de intervalos encaixados, temos apenas um ponto na interseção de todos estes intervalos que denotamos por $c.$ Afirmamos que $f(c)=0.$

Observe que pela escolha dos intervalos $I_n$ sempre o valor da função no extremo esquerdo do intervalo é negativo e no extremo direito é positivo.

Agora usamos continuidade de $f$ para mostrar que $f(c)=0$.

Ora, por um lado $c = \lim_{n \rightarrow \infty} e_n$ onde $e_n$ é o ponto extremo esquerdo do intervalo $I_n$ e portanto $f(c) = \lim_{n\rightarrow \infty} f(e_n) \leq 0$ e por outro lado

$c = \lim_{n \rightarrow \infty} d_n$ onde $d_n$ é o ponto extremo direito do intervalo $I_n$ e portanto $f(c) = \lim_{n\rightarrow \infty} f(d_n) \geq  0$. Concluímos então que:

$f(c)=0.$

Agora vamos ver o caso geral: $f(a)= A, f(b)=B$ e $D$ um número entre $A, B$. Provamos caso em que $A<B$. Em caso $A > B$ podemos conluir apenas considerando a função $-f.$

Portanto temos $A<C<B$ e buscamos $c \in [a,b]$ tal que $f(c) = C.$

Primeiramente reduzimos um valor fixo da função para que num extremo vire positivo e em outro negativo. Depois fazemos uma mudança de variável para reduzir o problema ao intervalo $[0,1]$ como anteriormente. Vamos escrever com detalhes:

Defina uma nova função $g: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ de seguinte forma:

$g(t) = f((1-t)a + t b) - C$

onde $C$ satisfaz $A-C< 0 < B -C$.

Observe que quando $t$ percorre intervalo $[0,1]$ então $(1-t)a + tb$ percorre o intervalo $[a, b].$ A função $g$ é uma função contínua, pois é composição de funções contínuas. (Pense!)

Agora: $g(0)= f(a) - C < 0, g(1) = f(b)-C >0$ e portanto estamos no contexto do caso especial do teorema do valor intermediário e assim teremos $t_0 \in [0,1]$ tal que $g(t_0)=0.$

Portanto pela definição da função $g$ concluímos que $c = (1-t_0)a + t_0b$ satisfaz a relação $f(c) = C.$

Isto quer dizer que existe pelo menos um ponto $c \in [a,b]$ (máximo) tal que $\forall x \in [a,b], f(x) \leq f(c).$ De uma forma similar existe pelo menos um ponto (mínimo) $d \in [a,b]$ tal que $\forall x \in [a,b], f(x) \geq f(d).$

Em particular o teorema acima implica que toda função contínua definida num intervalo $[a,b]$ é limitada (superiormente e inferiormente), i.e existem $m, M \in \mathbb{R}$ tais que para todo $x \in [a,b]$ temos $m \leq f(x) \leq M.$ Observe que o fato do itervalo ser fechado é importante: a função definida por $f(x) = \frac{1}{x}$ é contínua no intervalo $(0, 1)$ porém não é limitada neste intervalo!

Novamente vamos considerar $f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$. Caso geral, como no teorema de valor intermediário, segue de mudança de variável.

Consideramos a representação binária dos números

$c=0,c_1c_2\cdots$ onde  $c_i = 0, 1$

Consideramos a decomposição $[0,1] = [0, 1/2] \cup [1/2, 1]$ e afirmamos que pelo menos um dos intervalos (denotamos por $J$) da decomposição tem seguinte propriedade:

() Não existe nenhum ponto $t_0 \in J$ tal que para qualquer $t$ em $J^{c}$ (outro intervalo) $f(t_0) > f(t)$

Vamo ver por quê: considere um dos intervalos $[0, 1/2], [1/2, 1]$. Se este intervalo não tem propriedade acima, então ele possui um elemento $t_0$ tal que para qualquer $t$ em outro intervalo

$f(t_0) > f(t)$

portanto este outro intervalo satisfaz a prooriedade (). Pense!

Se um dos intervalos tiver propriedade () denotamos o outro intervalo de $I_1$. Se ambos tiverem a propriedade () escolhemos um deles e denotamos por $I_1$.  Definimos $c_1$:

$c_1=0$ se $I_1=[0,1/2]$

$c_1 = 1$ se $I_1 = [1/2,1]$

o ponto mais imortante aqui é compreender que vamos buscar o ponto máximo agora dentro do intervalo $I_1.$

Agora, vamos dividir o intervalo $I_1$ em dois sub intervalos (esquerdo e direito) de tamanho $1/4$. Repetimos o argumento anterior e teremos um deles satisfazendo (). Denotamos aquele que não satisfaz () de $I_2$. Se os dois satisfizerem () denotamos qualquer um deles de $I_2.$ e definimos $c_2:$

$c_2=0$ se $I_2$ for o subintervalo esquerdo

$c_2 = 1$ se $I_2$ for o subintervalo direito

Agora continuamos a busca por ponto máximo dentro do intervalo $I_2$

Continuando assim teremos $c=0,c_1c_2c_3\cdots$ e afirmamos que o ponto $c$ é um máximo da função $f.$

(demonstracão da afirmação por absurdo) Suponhamos que não! 

Se $c$ não for máximo da função, então existe $d \in [0,1]$ tal que $f(d) > f(c).$ Observe que pela construção de $c$ havia algum momento que $c$ e $d$ se separaram (ficaram nos subintervalos diferentes!) Seja $n_1$ o primeiro momento que isto ocorreu. Então pela nossa construção e busca: (*) $c \in I_{n_1}$  e além disto existe $d^{'} \in I_{n_1}$ tal que

$f(d) \leq f(d^{'})$ e portanto $f(d^{'}) > f(c)$

Agora repetimos com o $d^{'}$ o mesmo argumento que fizemos com $d$. Então existe $n_2$ tal que $d^{'}$ e $c$ se separaram! Isto significa $d^{'}$ não está no intervalo $I_{n_2}$e portanto existe $d^{''}$ tal que

$f(d^{'}) \leq f(d^{''})$ e portanto até agora obtivemos

$f(c) < f(d) \leq f(d^{'})  \leq f(d^{''})$. ()

Repetindo este argumento obteremos $n_1 < n_2 < n_3 \cdots < n_k < \cdots$ e $d^{(k)} \in I_{n_k}$  tal que $d^{(k)} \rightarrow c.$ Isto é porque o tamanho dos intervalos $I_{n_k}$ tende a zero e $c$ está na interseção de todos eles.

Claro que isto tem uma contradicão com a continuidade da função $f$. Pois, já que $d^{(k)} \rightarrow c$ pela continuidade $f(d^{(k}) \rightarrow f(c)$, enquanto pela escolha dos $d^{(k)}$ (veja ) temos $f(c) < f(d) \leq f(d^{(k)})$  e portanto $f(c) < \lim_{k \rightarrow \infty} f(d^{(k)}).$ Isto é um absurdo!!