Teorema: Sejam $f, g: (a, b) \rightarrow \mathbb{R}$ diferenciáveis e contínua no intervalo $[a, b].$ Se $g^{'}(x) \neq 0$  para $x \in (a, b)$, então existe um ponto $c \in (a,b)$ tal que

$\frac{f^{'}(c)}{g^{'}(c)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.$

Uma demonstração “fake”: (apenas para saber como não fazer as coisas!)

Pela teorema de valor intermediário existe $c$ tal que $f^{'}(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. Vamos aplicar novamente o teorema de valor médio, agora para funçao $g$ e portanto $g^{'}(c) = \frac{g(b)-g(a)}{b-a}$

Agora dividimos duas relações obtidas e temos

$\frac{f^{'}(c)}{g^{'}(c)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.$

Demonstração (de verdade!): Definimos uma nova função

$H(x) = f(x)(g(b)-g(a)) - g(x)(f(b)-f(a)).$

Observe que a função $H$ é diferenciável no intervalo aberto $(a, b)$ e contínua no intervalo fechado $[a,b]$ pois as funções $f, g$ tinham essas propriedades.

Apenas substituindo valores, concluímos que $H(a)=H(b)= f(a)g(b)-f(b)g(a)$ e portanto pelo Teorema do valor médio temos que existe $c \in (a, b)$ tal que $H^{'}(c)=0.$

É fácil ver (usando propriedade básica de derivada) que

$H^{'}(x)= f^{'}(x)(g(b)-g(a)) - g^{'}(x)(f(b)-f(a)).$

Portanto $H^{'}(c)= f^{'}(c)(g(b)-g(a)) - g^{'}(c) (f(b)-f(a)) =0$ e rearranjando os termos desta equação obteremos que:

$\frac{f^{'}(c)}{g^{'}(c)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.$

(link Wikepedia) Atualmente sabe-se que a regra não se deve ao Guillaume François Antoine , Marquês de l'Hôpital, mas sim a Johann Bernoulli, um dos membros da célebre Família Bernoulli. A regra integrou a obra do marquês, sendo também atribuída ao mesmo, mediante um acordo entre ele e Bernoulli. Posteriormente descobriu-se tal fato.

Bom, vamos ao que nós interessa mais!

Observação: Neste teorema estamos assumindo $a \in \mathbb{R}$. Porém  o limite $L$ pode ser infinito também. A demonstração aqui é para $L \in \mathbb{R}$ e o caso infinito realmente é um pequeno exercício.

Outro exercício: O Teorema é válido com as mesmas hipóteses quando $a = \infty$ também e para demonstrar basta fazer uma mudança de variável e definir novas funções $F(x) = f(\frac{1}{x}), G(x)= g(\frac{1}{x}).$

Demonstração:

Já que $\lim_{x \rightarrow a} \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)}$ existe, concluímos que num intervalo (talvez furado no centro) em torno de $a$ as derivadas existem e $g^{'}(x) \neq 0.$ Vamos denotar por $I$ este intervalo. Definimos duas novas funções (muito parecidas com $f, g$): Sejam $F, G$ tais que $F(a)=G(a)=0$ e $f(x)=F(x), g(x)=G(x)$ para todos os outros pontos do domínio das funções $f, g.$

Dado qualquer $x \in I$ podemos aplicar o teorema do valor médio generalizado para $F, G$ no intervalos com pontos extremos $a, x.$ e portanto

$\frac{F^{'}(c)}{G^{'}(c)} = \frac{F(x)-F(a)}{G(x)-G(a)} = \frac{f(x)}{g(x)}.$

Mas pela definição das funções $F^{'}(c)=f^{'}(c), G^{'}(c)=g^{'}(c)$

e portanto

$\frac{f^{'}(c)}{g^{'}(c)} = \frac{f(x)}{g(x)}.$   (*)

Observe que $c$ na equação acima depende do ponto $x$, porém quando $x$ tende ao ponto $a$, então os pontos $c$ correspondentes também convergem ao ponto $a$ por estarem entre $a, x.$

Já que $\lim_{x \rightarrow a} \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)} = L$ então a medida que $c$ aproximar ao ponto $a$ o valor de $\frac{f^{'}(c)}{g^{'}(c)}$ aproxima a $L$ (no caso limite infinito, aproximar tem que ser compreendido de forma correta!). Portanto  pela equação (*) e observação logo depois desta equação temos

$\lim_{x \rightarrow} \frac{f(x)}{g(x)}=L.$

*

Observação: Como no caso do teorema anterior o teorema é válido mesmo quando o limite $L$ é infinito e/ou $a = \infty.$

Demonstração (vamos fazer já que existe muitos demonstrações erradas na internet):

Sejam $p, q$ tais que $p <  L < q$ e  escolha $L < r < q$.  Já que $\lim_{x \rightarrow a} \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)} = L$ então para existe uma vizinhança furada de $a$ tal que nesta vizinhança $\frac{f^{'}(c)}{g^{'}(c)} < r$. Agora para quaisquer dois números $x, y$ nessa vizinhança (considere ambos $x, y$ ou maior do que $a$ ou menor) pelo Teorema do Valor médio generalizado temos

$\frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)} = \frac{f^{'}(c)}{g^{'}(c)} < r$ (1)

Pela hipotese sabemos que $\lim_{x \rightarrow a} g(x)=\infty$ (considere o caso em que $+\infty$). Fixamos a partir de agora o ponto $y$ e portanto para $x$ muito próximo de $a$ temos pelo menos $g(x) > g(y)$ e consequentemente $g(x)-g(y) > 0.$

Então podemos multiplicar ambos os lados da desigualdade (1) no fator $g(x) -g(y)$ e dividimos por $g(x)$ obteremos

$\frac{f(x)}{g(x)} < r - r \frac{g(y)}{g(x)} + \frac{f(y)}{g(x)}.$

Bem, a desigualdade acima tem uma mensagem muito positiva! Novamente, a medida que $x \rightarrow a$ as frações $\frac{g(y)}{g(x)}, \frac{f(y)}{g(x)}$ tendem ao zero (observe que não estamos mexendo com $y$) e portanto para TODOS os $x$ muito próximo ao ponto $a$ temos

$\frac{f(x)}{g(x)} < q.$ (lembram do número $q?$ ele é maior do que número $r.$)

De uma forma similar podemos escolher uma vizinhança muito pequena de $a$ tal que pontos $x$ nesta vizinhança satisfazem $\frac{f(x)}{g(x)} > p.$

Já que $p, q$ eram escolhidos inicialmente arbitrários limitando número $L$ então pela definição de limite:

$\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = L.$

Exemplos Alegres e  Exemplo para Alertar :

Exemplo1. Calcule $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x-sen(x)}{x^3}$.

A determinação é do tipo $\frac{0}{0}$ e vamos calcular as derivadas. 

$\frac{f^{'}}{g^{'}} = \frac{1-cos(x)}{3x^2}$ e observe que a indeterminação permanece. Vamos insistir e derivar novamente: $\frac{f^{''}(x)}{g^{''}(x)}= \frac{sen(x)}{6x}$ e ainda permaneceu! Derivamos de novo e o limite existe e é igual a $\frac{1}{6}.$  Legal né?

Exemplo 2. Calcule $\lim_{x \rightarrow 0^{+} } x \ln(x)$

Observe que podemos escrever $x \ln(x) = \frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}}$ e lidamos com indeterminação do tipo $\frac{\infty}{\infty}$ e observem que as hipótese do teorema neste caso é satisfeita. Portanto

$\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2}}=0.$

(lembrem de nosso mote que logaritmo é mais fraco que polinomial que por sua vez é mais fraco que exponencial!)

Exemplo 3.  Calcule $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$

Observe que a indeterminação deste limite é do tipo $\frac{\infty}{\infty}$.

$\frac{f^{'}}{g^{'}} = \frac{e^x+ e^{-x}}{e^x - e^{-x}}$

e assim a indeterminação permanece. O problema é que se derivarmos mais vezes nunca a indeterminação vai sumir!

Mas que tal massagear a função um pouco antes de calcular o limite!

$\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} -1}{e^{2x} + 1}$

e agora podemos até aplicar uma vez L'hopital e o limite é igual a 1.

Exemplo 4. Calcule $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x+cos(x)}{x}$

Observe que a indeterminação é do tipo $\frac{\infty}{\infty}$. Se utilizarmos o L'hopital sem cuidado escreveremos $\frac{f^{'}}{g^{'}} = \frac{1-sen(x)}{1}$ que não tem limite quando $x \rightarrow \infty.$ Essa última função oscila e não tem limite.

Porém $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x+cos(x)}{x} =  \lim_{x \rightarrow \infty} 1+ \frac{cos(x)}{x} = 0.$

Aha, a regra L'hopital aqui não funcionou, pois o limite da proporção das derivadas Não EXISTE! Ou seja a recíproca do enunciado do L'hopital não vale.