Nas páginas anteriores calculamos a derivada de algumas poucas funções. Em seguida vamos provar algumas propriedades com as quais podemos calcular derivada de muitas outras funções.

Proposição: Sejam $f,g$ duas funções diferenciáveis em $a$, então

1. A função $f+g$ também é diferenciável no ponto $a$ e $(f+g)^{'}(a)=f^{'}(a)+g^{'}(a).$
2. (Regra de Leibniz) O produto $fg$ também é diferenciável no ponto $a$ e $(fg)^{'}(a)= f^{'}(a)g(a) + f(a)g^{'}(a).$
3. Se $g(a) \neq 0$ e a função $\frac{f}{g}$ for definida numa vizinhança do ponto $a$ então $(\frac{f}{g})^{'}(a) = \frac{f^{'}(a)g(a) - f(a)g^{'}(a)}{g(a)^2}$

Demonstração: A demonstração de (1) fica para o leitor.

Vamos demonstrar (2):

$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{(fg)(a+h) - (fg)(a)}{h} =$

$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)g(a+h) - f(a)g(a+h) + f(a)g(a+h) - f(a)g(a)}{h}=$

$=  \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(a+h)(f(a+h) - f(a)}{h} + \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(a)(g(a+h) - g(a))}{h}$

$= g(a)f^{'}(a) + f(a)g^{'}(a).$

Agora vamos demonstrar (3).

Já que $g(a) \neq 0$ podemos achar $\epsilon > 0$ tal que $|g(a)| > \epsilon.$ Já provamos que a diferenciabilidade da função implica que existe um intervalo em torno de $a$ tal que a função $g$ não é nula. Portanto

$\frac{\frac{f}{g}(x) - \frac{f}{g}(a)}{x-a} = \frac{f(x)g(a)- f(a)g(x)}{(x-a) g(x)g(a)}$

$= ((\frac{f(x)-f(a)}{x-a})g(a) - f(a)(\frac{g(x)-g(a)}{x-a}) ) \times \frac{1}{g(x)g(a)}$

Agora usando o fato de que o “limite da soma é soma dos limites” concluímos o item (3).

Considere função polinomial $P(x)= a_0 + a_1x + \cdots a_n x^n.$ Já verificamos que a derivada de $a_k x^k$ é igual a $ka_k x^{k-1}$ e portanto $P^{'}(x) = a_1 + 2a_2 x + \cdots + na_n x^{n-1}.$

Usando (3) da proposição acima, podemos calcular a derivada de todas as funções racionais no seu domínio.

Usando derivada da funções $Sen, Cos$ vamos calcular a derivada de outras funções trigonométricas:

$tg^{'}(x)=   sec^2(x) = 1 + tg^2(x)$

$cotg^{'}(x) = - cosec^2(x) = - (1+ cotg^2(x))$

$sec^{'}(x) = tg(x)sec(x)$

$cosec^{'}(x)= - cotg(x)cosec(x).$

Vamos calcular derivada da função exponencial. De fato mostramos que se $f(x)=e^x$ então $f^{'}(x)=e^x.$

Em geral se $g(x)= a^x , a > 0$ então $g^{'}(x)= ln(a) g(x).$

Para provar basta observar que

$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^h - 1}{h} e^x = 1 \times e^x = e^x.$

e também $a^x = e^{ln(a)x}$ e como um exercício o leitor mostra o resultado desejado sobre derivada da função $a^x.$

Como calcular a derivada da função $f: f(x)=ln(x)?$ Claro que podemos usar a definição da derivada. Porém vamos utilizar uma tecnologia chamada Regra de Cadeia:

A regra de cadeia é a regra de ouro para calcular derivada de muitas funções. Uma construção fundamental na teoria de funções é a composição de duas ou mais funções. A regra de cadeia trata de derivada de composição de funções.

Teorema: Sejam $f: S \rightarrow \mathbb{R}, g: T \rightarrow \mathbb{R}$ duas funções, $a$ um ponto no interior de $S$ e $f(a)$ ni interior de $T$. Se $f$ e $g$ forem diferenciáveis respectivamente nos pontos $a, f(a)$ então $g \circ f$ é diferenciável no ponto $a$ e

$(g\circ f)^{'}(a) = g^{'}(f(a)) f^{'}(a).$

Demonstração: Observe que o domínio da função $g \circ f$ é o conjunto $K$ onde:

$K= \{x \in S : f(x) \in T \}$

Portanto para que derivada da composição no ponto $a$ tenha sentido em primeiro lugar precisamos averiguar que o ponto $a$ está no interior de $K.$

Vamos denotar por $b= f(a) \in T.$ Já que pela hipótese a função $g$ é diferenciável no ponto $b$ estamos assumindo que $b$ está no interior do conjunto $T$ e portanto existe um $\epsilon > 0$ tal que $(b-\epsilon, b+\epsilon) \subset T.$ Já que $f$ é contínua no ponto $a$ (pois é diferenciável) então existe $\delta> 0$ tal que para todo $x: |x-a| \leq \delta$ então $|f(x)-f(a)| \leq \epsilon$ e concluímos que $(a - \delta, a+\delta) \subset K$, ou seja $a$ é um ponto no interior de $K.$

Agora vamos provar diferenciabilidade e a fórmula da derivada da composição.  Pela diferenciábilidade de $f$ existe uma função $R$ que está definida num intervalo furado em torno de $a$ tal que $\lim_{h \rightarrow 0} R(h)=0$ e

$f(a+h)= f(a)+ h f^{'}(a) + hR(h)$

De uma forma similar, pela diferenciabilidade de $g$ no ponto $b=f(a)$ concluímos que existeoutra função (resto) $\sigma$ tal que $\lim_{k \rightarrow 0} \sigma(k) =0$ e

$g(b+k)= g(b)+ k g^{'}(b) + k \sigma(k)$

Vamos substituir $k=f(a+h)-f(a)$ na equação acima

$g(f(a+h)) - g(f(a)) = (f(a+h)-f(a))g^{'}(b) + k \sigma(k)$

$= (h f^{'}(a) + hR(h)) g^{'}(b) + k \sigma(k)$

$= h g^{'}(f(a))f^{'}(a) + hg^{'}(b)R(h) + (h f^{'}(a) + h R(h)) \sigma(k)$

Agora basta observar que quando $h \rightarrow 0$ então $k = f(a+h)-f(a) \rightarrow 0$ e portanto

$g(f(a+h)) = g(f(a)) + h g^{'}(f(a))f^{'}(a) + h \eta(h)$

onde $\eta(h) = R(h)g^{'}(b) + f^{'}(a) \sigma(k) + R(h) \sigma(k)$  e fácil ver que $\eta(h) \rightarrow 0$ quando $h \rightarrow 0.$

Vamos usar regra de cadeia para calcular derivada de $f(x)=ln(x).$ Basta considerar $g(x)=e^x$ e observar que $g(f(x))=x$. Agora derivamos dois lados da equação e pela regra de cadeia temos $g^{'}(f(x)) f^{'}(x) = 1.$ Portanto $e^{f(x)} f^{'}(x) = 1$ e logo $f^{'}(x) = \frac{1}{e^{ln(x)}} = \frac{1}{x}.$

Exemplo: Calcule a derivada da função $h(x)= (x^2+x+1)^{10}.$ Claro que não vamos calcular a décima potência de $x^2+x+1$ antes de calcular a derivada!

Considere $g(x)=x^{10}, f(x)=x^2+x+1$  e portanto

$h(x)=g (f ( x))$. Usando regra da cadeia teremos

$h^{'}(x)= g^{'}(f(x)) f^{'}(x) = 10 (x^2+x+1)^{9} (2x+1).$

Exercício: Calcule a derivada $f(x)= \sqrt[3]{\frac{cos(x)}{x-1}}$ e para divertir mais calcule derivada de $f(x)=e^{e^x}$ ou $f(x)= e^{x^n}$

Exemplo: Calcule a derivada da $f(x)=\sqrt{x}$. Observe que $f(x)^3= x$. Vamos denotar $g(x)=x^3$. Então

$g(f(x))=x$

agora vamos derivar dos dois lados da equação acima: $g^{'}(f(x)) f^{'}(x) = 1$. Lembrando que $g^{'}(x)=3x^2$:

$f^{'}(x) = \frac{1}{g^{'}(f(x))} = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}$

Exemplo: Calcule a derivada da função $f(x)= ln(x) + 2 e^{sen(x^2)}$

Considere $g(x)= ln(x), h(x)=e^x, K(x)=sen(x), L(x)=x^2, T(x)=2x$. Então podemos escrever

$f(x) = g(x) + T(h(K(L(x))))$. Portanto pela “derivada da soma é soma das derivadas” temos $f^{'}(x) = g^{'}(x) + (T \circ h \circ K \circ L)^{'}(x) = \frac{1}{x} + (T \circ h \circ K \circ L)^{'}(x)$ e agora usamos a regra de cadeia para obter derivada da composição das 4 funções $T, h, K, L$ cujas derivadas individualmente são conhecidas.

$(T \circ h \circ K \circ L)^{'}(x) = 2 (2x) cos(x^2) e^{sen(x^2)}$

Exemplo:

A partir de agora é bom lembrar que usando regra de cadeia a derivada da dunção $e^{g(x)}$ é igual a $g^{'}(x)e^{g(x)}$