A noção de derivada foi consolidada nos trabalhos de Leibniz e Newton. A noção de derivada foi bem estabelecida quando a noção de números reais foi rigorosamente compreendida. O cálculo de velocidade instantâneo foi uma das necessidades que implicaram busca pela definição rigorosa de derivada.

Velocidade média: Vamos considerar uma partícula que move numa reta (considere reta dos números reais). A posição da partícula no tempo $t$ é uma função de $t$ que denotamos por $f(t)$.  A velocidade média entre tempo $t_1$ e $t_2$ é dada por $\frac{f(t_2) -f(t_1)}{t_2 - t_1}.$ 

Se o movimento for uniforme (velocidade constante) então a distância percorrida sempre é igual a velocidade média (número constante) multiplicado por tempo percorrido. Porém se a velocidade não for constante (considere um objeto em queda livre!) precisamos de analisar mais detalhadamente o movimento. Lembrem de Galileo e seus esforços para entender estes movimentos, enquanto ainda não existia cálculo diferencial!

Se na definição de velocidade média acima, substituirmos $t_1 = t$ e escolhermos $t_2$ muito próximo a $t$ então obteremos a velocidade média num intervalo muito curto, porém ainda não temos a velocidade no exato momento $t$. Se substituirmos $t_1=t_2=t$ temos um problema sério! (zero dividido por zero que não faz nenhum sentido!)

A saída honesta é calcular limite!

Vamos definir a velocidade no momento $t$ como

$\lim_{s \rightarrow t} \frac{f(s)-f(t)}{s-t}$

que é o mesmo que

$\lim_{h \rightarrow o} \frac{f(t+h)-f(t)}{h}$

(* veja fim desta página para solução) Como um bom exercício mostrem que se o limite acima existir então o limite abaixo existe e coincide com a velocidade instantânea no momento $t$:

$\lim_{h \rightarrow o} \frac{f(t+h)-f(t-h)}{2h}$

Dado um ponto $a$ no interior do domínio da função $f$ denotamos por $f^{'}(a)$, a derivada da função no ponto $a$,  o limite abaixo (se existir!)

$\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

Exemplo: Calcule $f^{'}(a)$ se $f(x)= Ax + B$.

neste exemplo vamos calcular a derivada da função linear.

$f^{'}(a) = \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}= \lim_{x \rightarrow a} \frac{(Ax+B)-(Aa+B)}{x-a} = \lim_{x \rightarrow a} \frac{A(x-a)}{x-a} = A.$

portanto a derivada da função linear é constante, ou seja não depende do ponto $a$ onde estamos calculando a derivada!  Isto deve lembrar movimento com velocidade constante na reta.

Exemplo: Vamos calcular a derivada de $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ com regra $f(x)=cx^n$.

Dado um ponto $a$ pela definição

$f^{'}(a)= \lim_{x \rightarrow a} \frac{cx^n - ca^n}{x-a}$

$= \lim_{x \rightarrow a} c \frac{x^n -a^n}{x-a}$

$= \lim_{x \rightarrow a} c(x^{n-1}+x^{n-2}a + \cdots + x a^{n-2} + a^{n-1})$

$= cna^{n-1}$.

Portanto concluímos que $f^{'}(x)=cnx^{n-1}.$

Considere uma curva no plano e um ponto $A$ na curva. Como definimos uma reta tangente a curva no ponto $A?$

Se pararmos para pensar, observamos que não é trivial dar uma definição simples. por exemplo: A reta tangente é aquela que intersecta a curva apenas no ponto $A$. Isto não é correto.

ou mesmo: A reta tangente é aquela que a curva, localmente, fica “apenas num lado” da reta. Pense!

A necessidade da definição rigorosa da reta tangente veio de vários problemas, incluindo problemas da física (por exemplo na reflexão de raio de luz).

Para definir a reta tangente no ponto $A$ consideramos uma sequência de pontos $A_n$ na curva que “convergem” a $A$. Agora consideramos as retas $AA_n$ (reta que passa pelos pontos $A, A_n$) e definimos a reta tangente como limite da sequência das retas $AA_n$.

Observação importante porém um pouco vago ainda: A reta tangente num ponto na curva, não depende do formato da curva “longe” do ponto A.  Reta tangente ao gráfico de uma função:

Suponhamos que a curva considerada acima seja gráfico de uma função $f$ e o ponto $A=(x_0, f(x_0))$. Pela definição da reta tangente concluímos que a reta tangente terá coeficiente angular

$f^{'}(x_0) = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$

Exemplo: Vamos calcular a equação da reta tangente a curva dada pela equação

$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9}=1$ no ponto $A= (2, -\frac{3\sqrt{3}}{2}).$

Solução: Vamos considerar apenas um pedaço da curva que contem o ponto $A$ que a podemos considera-lo como gráfico de uma função para poder utilizar cálculo!

Observe que pela equação da curva temos

$y = \pm \frac{3}{4} \sqrt{16-x^2}$.

Assim obtemos regra de duas funções. O ponto $A$ satisfaz a equação $y = - \frac{3}{4} \sqrt{16-x^2}$ e portanto pertence ao gráfico da função com seguinte regra:

$f(x) = - \frac{3}{4} \sqrt{16-x^2}$.

Vamos calcular a derivada da $f$ no ponto $x=2.$ Observem que calculamos a derivada de uma função num ponto do interior de seu domínio. Neste caso $x =2$ que é a abcissa do ponto $A.$

$f^{'}(2) = \lim_{x \rightarrow 2} \frac{-\frac{3}{4}  \sqrt{16-x^2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}}{x-2} = \lim_{x \rightarrow 2} \frac{-3}{4} \times \frac{\sqrt{16-x^2} -  2\sqrt{3}}{x-2}$

temos intederminação (ou palavrão) do tipo $\frac{0}{0}$. Multiplicamos o denominador e numerador por expressão $\sqrt{16-x^2} +  2\sqrt{3}$ e obteremos

$f^{'}(2) = \lim_{x \rightarrow 2}( \frac{3}{4} \times \frac{x+2}{\sqrt{16-x^2} +  2\sqrt{3}}) = \frac{\sqrt{3}}{4}.$

Portanto a equação da reta tangente é

$y+ \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} (x-2).$

Exemplo de função que não tem derivada:

Considere a função com regra $f(x) = |x|$ e verifique se $f$ tem derivada no ponto $x=0.$

Precisamos verificar se o seguinte limite existe:

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{|x|}{x}$

Este limite não existe, pois $\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{|x|}{x}=1$ enquanto $\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{|x|}{x}=-1$. Portanto a função $f$ não é diferenciável no ponto $x=0.$

A função $f$ acima é contínua no ponto $x=0$ como anteriormente tinhamos provado. Porém acabamos de demonstrar que não tem derivada neste ponto.

Sim, isto que estão pensando é correto! Toda função quando tem derivada num ponto então é contínua naquele ponto, porém a recíproca não é verdade necessariamente como no exemplo acima. Provaremos este fato em outras aulas.

Porém em qualquer outro ponto $x \neq 0$ a derivada existe. De fato se $x > 0$ então $f^{'}(x)=1$ e para $x < 0$ temos $f^{'}(x) = -1.$

muito informalmente falando: a função não tem derivada nos pontos onde o gráfico da função tem um bico!

Exemplo: Verifique se a função $f(x)= [x]$ é diferenciável em algum ponto de seu domínio. Calcule a derivada.

Uma piada: Voce sabia por que a derivada de $h$ não tem derivada?

Outro Exemplo (sem bico e sem derivada): Vamos ver uma função que não tem derivada. $f(x)=x^{\frac{1}{3}}.$ Podemos verificar que $f$ no ponto $x=0$ não tem derivada.

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

e o limite acima não existe. Lembrem que “infinito não é um número!”

Neste caso, a função não tem bico no ponto onde não é diferenciável. De fato a reta tangente é vertical! Azar dela! veja o gráfico dela!

(*) Sobre exercício proposto:

Se $f$ for diferenciávle no ponto $a$ então o seguinte limite existe e coincide com a derivada $f^{'}(a).$

$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$.

Porém, se este limite existir, a função pode não ser diferenciável no ponto $x=a$

Vamos denotar $b:=a-h$ e portanto

$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h} = \lim_{b \rightarrow a} \frac{f(2a-b) - f(b)}{2(a-b)}$

$= \lim_{b \rightarrow a} \frac{f(2a-b) - f(a)}{2(a-b)} + \frac{f(a) - f(b)}{2(a-b)}$

$= \frac{f^{'}(a)}{2} + \frac{f^{'}(a)}{2} = f^{'}(a).$

Agora vamos mostrar que a recíproca não é verdadeira. Considere a função com regra

$f(x)=1$ se $x\neq 0$ e $f(0)=0.$ Podemos mostrar que a derivada no ponto $x=0$ não existe. Porém

$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h) - f(-h)}{2h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1-1}{h} = 0.$