Nesta seção vamos discutir a aproximação de funções por funções lineares.

Sejam $f,g : S \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ duas funções e $x_0$ um ponto do interior de $S$. Dizemos que $f$ e $g$ são tangentes no ponto $x_0$ se

• $f(x_0) = g(x_0)$
• $\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-g(x)}{x-x_0} =0.$

A primeira condição quer dizer que os gráficos das funções $f, g$ passam do mesmo ponto    $(x_0, f(x_0)) = (x_0, g(x_0))$.

A segunda condição distingue a tangência das funções da mera interseção de seus gráficos.  Observe que $|f(x_0) - g(x_0)|$ representa a distância vertical entre os dois gráficos no ponto $x_0$ e assim a segunda condição exige que essa distância dividida por $|x - x_0|$ (que também converge à zero) convirja à zero, quando $x$ tende à $x_0.$

Considere duas funções $f(x) = x^2 + |x|, g(x) = |x|.$ Observe que $f(0)= g(0) = 0.$

Vamos verificar a segunda condição de tangência das duas funções:

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-g(x)}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2}{x} =0.$

Portanto essas duas funções são tangentes no ponto $x=0.$

É importante ressaltar que nenhuma delas é diferenciável no ponto $x=0.$

Porém se as funções forem diferenciáveis a condição de tangência (condição 2) é a mesma que $f^{'}(x_0)=g^{'}(x_0).$

Por efeito,  (usando o fato de que $f(x_0)=g(x_0)$)

$\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-g(x)}{x- x_0} = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x) - f(x_0) + g(x_0) - g(x)}{x-x_0}$

$= \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x- x_0} - \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{g(x)-g(x_0)}{x- x_0} = f^{'}(x_0) - g^{'}(x_0)$

e portanto a condição (2) é mesma que $f^{'}(x_0) = g^{'}(x_0).$

De fato podemos mostrar que se uma das funções (tangentes entre se) for diferenciável então a outra também deve ser e as derivadas coincidem.

Dado $x_0,$ no interior do domínio da função $f$, se a função for diferenciável no ponto $x_0$ e $f^{'}(x_0)= m$ então a reta com equação:

$y = f(x_0) + m (x-x_0)$

é a única reta que é tangente ao gráfico da $f$ no ponto $(x_0, f(x_0))$ com a definição dada acima sobre tangência de duas curvas (gráfico da $f$ e a reta considerada como gráfico da função $g(x)= f(x_0) + m(x-x_0)$.

Para verificar, vamos calcular observamos seguintes cálculos:

$\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x) - g(x)}{x-x_0} = \frac{f(x) - (f(x_0) + m(x-x_0))}{x-x_0}$

$= \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-m=0$.

Chamamos a função afim $g$ de aproximação linear de $f$ no ponto $x_0$. Ou seja a função $g$ é a função “mais próxima” à função $f$ no ponto $x_0.$

Uma outra forma de escrever a aproximação linear é como a seguir:

Denotamos por

$E(h):= f(x_o + h) - (f(x_0) + f^{'}(x_0) h) = f(x_0+h) - g(x_0 + h)$

o resto da subtração da $f$ da sua aproximação num ponto $x_0 + h$, Então pela definição da derivada temos $\lim_{h \rightarrow 0}  \frac{E(h)}{h} = 0.$

ou seja temos seguinte relação:

$f(x_0 + h) = f(x_0) + h f^{'}(x_0) + E(h)$  tal que $R(h) = \frac{E(h)}{h} \rightarrow 0$ quando $h \rightarrow 0.$

Demonstração: Suponhamos que $f$ é diferenciável no ponto $a$. Para demonstrar a continuidade precisamos provar que $\lim_{h \rightarrow 0} f(a+h) = f(a).$

Pela formula de aproximação linear temos

$f(a+h) = f(a) + h f^{'}(a) + E(h)$

e observe que $\lim_{h \rightarrow 0} h f^{'}(a) = \lim_{h \rightarrow 0} E(h) = 0.$ e portanto $\lim_{h \rightarrow 0} f(a+h) = f(a).$

Lembramos que a continuidade não implica diferenciabilidade. O exemplo da função $|x|$ é um bom exemplo. Vamos dar outro exemplo:

Considere a função $f(x)= x sen(\frac{1}{x}), x \neq 0, f(0)=0.$ Já  temos provado que essa função é contínua no ponto $x=0.$ Entretanto vamos verificar que não é diferenciável neste ponto:

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{xsen(\frac{1}{x})}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} sen(\frac{1}{x})$

e o limite acima não existe. Portanto a função não é diferenciável no ponto $x=0.$

Observe que essa função no ponto zero tem infinitas oscilações, porém é contínua. Entretanto a altura das oscilações fazem com que a função não seja diferenciável.

Quer ver um exemplo mais legal ainda?

Exercício: Considere $f(x)= x^2 sen(\frac{1}{x}).$ Mostre que essa função é diferenciável no ponto $x=0$ e que $f^{'}(0)=0.$