Vamos dar dois exemplos onde naturalmente encontramos a função exponencial. A função exponencial satisfaz a seguinte propriedade:

$f(x+y)= f(x) f(y)$

Depois mostraremos que toda função contínua que satisfaz a condição acima é de fato uma função exponencial.

Elementos radioativos transformam em outros elementos ao longo do tempo. É importante saber a quantidade que permanece (não transformou) após um determinado tempo $t$.

Suponhamos $M(t)$ representar a fração da materia (de uma unidade de massa) que sobra após passar o tempo $t$. Vamos assumir que $M(t)$ é uma função contínua de $t$ e $M(0)=1,   0 < M(t) < 1$ para todo $t > 0$.

Se iniciarmos com $A$ unidades de massa, ficaremos com $AM(t)$ de material radioativo inicial depois de tempo $t$.

Qual será a quantidade de material após tempo $s+t$? Vamos calcular de duas formas diferentes:

Primeiramente  pela definição a quantidade sobrada é é $AM(s+t)$. Por outro laso após o tempo $s$ a quantidade é $AM(s)$ e em seguida vamos calcular a quantidade da materia quando passa tempo $t$ e chegaresmo ao valor $AM(s)M(t)$. Portanto:

$M(s+t)=M(s)M(t)$       (1)

Observe que $M(x) < 1$ para todo $x >0$ e portanto concluimos que

$\lim_{x \rightarrow 0} M(x) =0$ (verifique isto!)

Sabemos que $M(0)=1$ e portanto pelo teorema do valor intermediário concluímos que existe $h>0$ tal que $M(h) = \frac{1}{2}$.

Observe que usando (1) concluímos que $M(t+h)=\frac{1}{2}M(t)$. Isto significa que começando em qualquer tempo $t$, após passar tempo $h$ a quantidade de materia é dividida por dois. Este tempo é chamado de meia vida.

Por exemplo a meia vida de carbono-14 é de 5730 anos.

Suponhamos que $P(t)$ é o tamanho da população bacteriana (começando no tempo zero por um abacteria) no tempo $t$.

Assumimos que $P$ é uma função contínua e $P(0)=1$ e $P(t)> 1$ para todo $t>0.$

Se fornecemos nutriente e as bacterias não competirem entre se e tivermos espaço suficiente para crescimento das bacterias. É razoável esperar que nestas circunstâncias a população da colonia é proporcional a população inicial, ou seja

tamanho da população no tempo $t = A P(t)$ onde $A$ é o tamanho inicial.

Argumentando similar ao caso de decaimento radioatívo concluímos

$P(s+t) = P(t)P(s).$ (2)

Já que $P(t) > 1$ para $t > 0$ podemos usar a relação (2) e concluir que $\lim_{x \rightarrow \infty} P(x) = \infty$ e pelo teorema do valor intermedíario deve existir $d$ tal que $P(d)=2.$ Novamente usando a relação (2) concluímos que para qualquer $t$ temos:

$P(t+d) = 2P(t)$

ou seja $d$ é o tempo de dobra!

*

Vamos mostrar que toda função contínua $f$ satisfazendo:

$f(x+y)=f(x)f(y) , a=f(1)>0$

deve ser uma função exponencial, $f(x)=a^x.$

Para começar vamos substituir $x=y$ na equação (2). Portanto

$f(2x)= f(x)f(x) = f(x)^2$

Agora se colocarmos $y=2x$ na equação (2) concluímos

$f(3x)=f(2x+x) = f(2x) f(x) = f(x)^2 f(x)=f(x)^3$ e continuando desta forma podemos provar que para todo $x$:

$f(nx)=f(x)^n$ (3)

Se $x=1$ a equação (3) implica que $f(n) = f(1)^n = a^n$.

Agora se colocarmos $x=\frac{1}{n}$ na equação (3) temos $f(1) = f(\frac{1}{n})^n$ e portanto $f(\frac{1}{n}) = a^{1/n}.$

Agora considere $x=\frac{1}{m}$ na equação (3). Logo

$f(\frac{n}{m}) = a^{n/m}$. Até agora temos provado que para qualquer número racional $r >0$ vale $f(r) = a^r.$

Já que $f$ é uma função contínua, para todo número irracional $\alpha >0$ também temos $f(\alpha) = a^{\alpha}$

É um exercício provar $f(x) = a^x$ para $x <0$ também.

Exponencial é mais forte de qualquer polinomial!

Teorema: Para qualquer $a > 1$ a função $a^x$ cresce mais rápido de que qualquer $x^k$ quando $x$ tende ao infinito, $k=0, 1,2,3, \cdots$. Isto siginifica que para qualquer $k \in \mathbb{N}$:

$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{a^x}{x^k} = +\infty$ ou equivalentemente

$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^k}{a^x} = 0$

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O caso mais simples é quando $k=0$. De fato para isto basta provar que $\lim_{x \rightarrow +\infty} a^x = +\infty.$

Caso $k= 1$: Definimos $f(x) = \frac{a^x}{x}$ e temos:

$f(x+1) = \frac{a^{x+1}}{x+1} = \frac{a^x}{x} \frac{a}{1+\frac{1}{x}}$  (4)

Afirmamos que para $x$ grande o suficiente, o fator $\frac{a}{1+\frac{1}{x}}$ é maior do que 1. Por efeito, $a > 1 + \frac{1}{m}$ para algum número $m$. Seja $b = \frac{a}{1+ \frac{1}{m}}$. Agora para todo $x>m$ temos

$\frac{a}{1+\frac{1}{x}} \geq \frac{a}{1+ \frac{1}{m}} = b > 1.$ Juntando isto com a relação (4) temos:

$f(x+1) \geq f(x)b.$

$f(x+2) \geq f(x)b^2$, ….. $f(x+n) \geq f(x)b^n$

Agora, qualquer número grande $X$ pode ser escrito como soma de dois números, um dos quais pertence ao intervalo $[m, m+1]$ e o outro é um número inteiro $n$.  Denotamos por $M \neq 0$ o mínimo da função no intervalo $[m, m+1]$. Então:

$f(X) = f(x + n) \geq f(x) b^n \geq M b^n$

Dado que $b > 1$ concluímos que $f(X) \rightarrow \infty$ quando $X \rightarrow \infty$.

Caso $k > 1$: Precisamos achar $s$ tal que $s^k =a$ e ai temos:

$\frac{a^x}{x^k}=(\frac{s^x}{x})^k$

e usamos o caso $k=1$ para concluir a demonstração.

Exemplo Diferente: Calcule $\lim_{x \rightarrow - \infty} \frac{a^x}{x^5}.$