1. Sejam $f_n : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ uma sequência de funções uniformemente contínuas e $f_n$ convergir uniformemente a $f.$ É correto afirmar que $f$ também é uniformemente contínua?
2. Se $f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ possuir anti-derivada, então $f$ é Riemann integrável? É correto dizer que existe $g$ tal que $g^{'}=f$ e portanto pelo teorema fundamental de cálculo $g = \int f$, ou seja $f$ é integrável?
3. Sejam $f, g $ respectivamente as funções características de $[1, 4]$ e $[2, 5].$ As derivadas $f^{'}$ e $g^{'}$ existem exceto um conjunto de medida nula (alías apenas não tem derivada nas fronteiras dos intervalos). Pela integração por partes temos: $$ \int_{0}^{3} f(x) g^{'}(x)dx = f(3)g(3) - f(0)g(0) - \int_{0}^{3} f^{'}(x) g(x)dx$$ as integrais acima são nulas. Enquanto $f(3)g(3) - f(0)g(0) = 1.$ Encontre o erro.
4. Sejam $f_n : [1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, f_n(x) = \frac{x}{1+x^n}.$ É correto afirmar que $f_n| [1, \infty]$ converge uniformemente? Podemos aplicar o teorema de Arzela Ascoli para provar que para $a > 1$ fixo, $f_n| [a, \infty )$ converge uniformemente?
5. Use Teste de Weierstrass para mostrar que a série $\sum_{n \geq 1} x^n e^{-nx}$ converge uniformemente em $x \geq 0.$

Gabarito:

1. Pela convergência uniforme dado $\epsilon > 0$ existe $N$ tal que para todo $n \geq N$ temos $\|f-f_n\| \leq \epsilon/3$. Pela continuidade uniforme de $f_N$ existe $\delta > 0 $. tal que se $|x-y| < \delta$ então $|f_N(x)-f_N(y)| \leq \epsilon/3.$ Agora basta usar argumento $3 \times \frac{\epsilon}{3}:$ $$ |f(x)-f(y)| \leq |f(x)-f_N(x)|+ |f_N(x)-f_N(y)|+|f_N(y)-f(y)| \leq \epsilon. $$

2. Função Volterra como foi falado na aula é uma função que não tem integral pois tem um conjunto de medida positiva de descontinuidade, porém tem primitiva.

3. O erro está em considerar $\int f^{'}g$ pois $f^{'}$ não está definida no intervalo de integração.

4. Podemos veerificar que $f_n$ é contínua e $f = \lim f_n$ não é contínua em $[1, \infty).$ Portanto não temos convergência uniforme. Porém para $a > 1$ podemos mostrar convergência desejada no exercício. Porém nõa pelo teorema Arzela-Ascoli que dá uma subsequência convergente.

5. Observe que $x^n e^{-nx} = (\frac{x}{e^x})^n$ e vamos mostrar que existe $a < 1$ tal que para todo $x \geq 0, \frac{x}{e^x}< a$ e portanto encontramos uma série geométrica para aplicar teste de Weierstrass. Agora seja $g(x)= ln(x)-x.$ Basta mostrar que $g(x) \leq -1$ portanto $xe^{-x}=e^{g(x)} < e^{-1} < 1.$